Les coefficients binomiaux : comb nCr

### 6.8.2 Les coefficients binomiaux : `comb nCr`

`comb` (ou `nCr`) a comme paramètre deux entiers positifs `n` et `p`.
`comb(n,p)` ou `nCr(n,p)` calcule Cnp.
On a :

Cnp= |
n!
p!(n−p)!
| = |
n(n−1)...(n−p+1)
p!

On tape :

`comb(5,2)`

On obtient :

`10`

Remarque 1
Si n est un entier positif et p un entier négatif alors :
`comb(n,p)=nCr(n,p)=0`.
Par exemple `comb(5,-2)=nCr(5,-2)=0`.
Mais, on peut définir `comb` (ou `nCr`) avec comme paramètres `n` entier négatif et `p` entier positif par :
`comb(n,p)=` n(n−1)...(n−p+1)/p!
On tape :

`comb(-5,2)`

On obtient :

`15`

En effet −5*−6/2=15
On tape :

`comb(-5,3)`

On obtient :

`-35`

En effet −5*−6*−7/6=−35
Remarque 2
On a aussi `binomial(n,p)=comb(n,p)` lorsque `n` et `p` sont deux entiers positifs mais `binomial` peut admettre un paramètre supplémentaire et dans ce cas `binomial(n,p,a)` calcule Cnp*ap*(1−a)n−p.
Remarque 3 : Relation avec la fonction Γ
On a :
`comb(n,p)=Gamma(1+n)/(Gamma(1+p)*Gamma(1+n-p))`
Quand n est un entier négatif `Gamma(1+n)` est infini et on a :
`comb(n,p)=limit(Gamma(1+x)/(Gamma(1+p)*Gamma(1+x-p),x,n)`.
Par exemple, on tape :
`comb(-5,3),limit(Gamma(1+x)/(Gamma(1+3)*Gamma(1+x-3)),x,-5)`
On obtient :
`(-35,-35)`