Exercice 2

### 11.18.2 Exercice 2

Soit `SABCD` une pyramide de sommet `S` dont la base `ABCD` est un carré de centre `O` et tel que `SO` est perpendiculaire au plan `ABCD`.
Le plan passant par `C` et perpendiculaire à `SA` coupe `SA`, `SB`, `SC` respectivement en `M`, `N` et `P`.
Montrer que `NP` est parallèle à `BD`.
Pour faire la figure, on tape :

    //dessin exo2
    A:=point(2,2,0);
    B:=point(-2,2,0);
    C:=point(-2,-2,0);
    D:=point(2,-2,0);
    S:=point(0,0,4);
    polyedre(S,A,B,C,D);
    Q:=perpendiculaire(C,droite(S,A));
    M:=head(inter(Q,droite(S,A)));
    N:=head(inter(Q,droite(S,B)));
    P:=head(inter(Q,droite(S,D)));
    d1:=droite(N,P);
    d2:=droite(B,D);
    est_parallele(d1,d2)

Pour faire la démonstration avec `Xcas`, on peut taper en supposant que le plan du carré est le plan Oxy :

    // demo exo2
    A:=point(a,b,0);
    B:=point(c,f,0);
    d:=affixe(rotation(a+i*b,pi/2,point(c+i*f)));
    d1:=re(d);
    d2:=im(d);
    D:=point(d1,d2,0);
    C:=normal(B+(D-A));
    S:=point((c+d1)/2,(d+d2)/2,g);
    Q:=perpendiculaire(C,droite(S,A));
    M:=head(inter(Q,droite(S,A)));
    N:=normal(head(inter(Q,droite(S,B))));
    P:=normal(head(inter(Q,droite(S,D))));
    est_parallele(droite(D,B),droite(N,P));

On obtient :
`1`
mais on peut simplifier les calculs, car on peut choisir les axes pour avoir A sur Ox, on tape alors :

    // demo exo2
    A:=point(a,0,0);
    B:=point(0,a,0);
    C:=point(-a,0,0);
    D:=point(0,-a,0);
    S:=point(0,0,b);
    Q:=perpendiculaire(C,droite(S,A));
    M:=head(inter(Q,droite(S,A)));
    N:=normal(head(inter(Q,droite(S,B))));
    P:=normal(head(inter(Q,droite(S,D))));
    est_parallele(droite(D,B),droite(N,P));

On obtient :
`1`
La démonstration géométrique :
Les triangles `0AS`, `0BS` et `0DS` rectangles en `0` sont égaux puisque `0A=OB=0D` en tant que demi diagonale d’un carré.
Donc les arêtes `SA` `SB` et `SD` sont égales ainsi que les triangles isocéles `SAB` et `SAD` (la pyramide est donc régulière).
Les triangles `MSN` et `MSP` rectangles en `M` sont égaux (même côté `MS` et leurs angles `S` sont égaux), donc `SN=SP`.
Puisque `SB=SD`, on a donc :
`` `SN/SB``=``SP/SD`
ce qui montre d’après le théorème de Thalès que `NP` est parallèle à `BD`.