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Ei calcule les valeurs de la fonction Ei au point a.
On a par définition :
| Ei(x)= | ∫ | 
 | 
 | dt | 
Pour x>0, on prolonge par la valeur principale de l’intégrale (les morceaux en 0− et 0+ se compensent). On a :
| Ei(0)=−∞, Ei(−∞)=0 | 
Lorsque l’on est proche de x=0 on sait que :
| 
 | = | 
 | +1+ | 
 | + | 
 | +...+ | 
 | .... | 
on a donc pour x∈ ℂ−ℝ+, (la fonction est discontinue sur ℝ+) :
| Ei(x)=ln(−x)+γ + x+ | 
 | + | 
 | +... | 
où γ = la constante d’Euler = 0.57721566490..
sur l’axe x>0 on prend :
Ei(x)=ln(x)+γ + x+x2/2.2!+x3/3.3!+...
On tape :
On obtient :
On tape :
On obtient :
On tape :
On obtient :
On tape :
On obtient :
On tape :
^n/n/n!,n=1..100))On obtient la constante d’Euler γ :
Lorsque Ei a comme argument 2 nombres : a réel et b entier positif, on a :
Ei(a,1)=-Ei(-a)
Ei(a,2)=exp(-a)+a*Ei(-a) =exp(-a)-a*Ei(a,1)
Ei(a,3)=(exp(-a)-a*(exp(-a)+a*Ei(-a)))/2=(exp(-a)-a*Ei(a,2))/2
Ei(a,4)=(exp(-a)-a*(exp(-a)-a*(exp(-a)+a*Ei(-a)))/2)/3=(exp(-a)-a*Ei(a,3))/3
Ei(a,n)= (exp(-a)-a*Ei(a,n-1))/n-1 pour n entier ≥ 2
Donc :
Ei(a,1)=-Ei(-a)
a*Ei(a,1)+Ei(a,2)=exp(-a) donc a*Ei(a,1)+Ei(a,2)=exp(−a)
a*Ei(a,2)+2*Ei(a,3)=exp(-a) donc a2*Ei(a,1)−2*Ei(a,3)=exp(−a)*(a−1)
a*Ei(a,3)+3*Ei(a,4)=exp(-a) donc a3*Ei(a,1)+3!*Ei(a,4)=exp(−a)*(a2−a+2)
a*Ei(a,4)+4*Ei(a,4)=exp(-a) donc
a4*Ei(a,1)−4!*Ei(a,4)=exp(−a)*(a3−a2+2a−3!)
a5*Ei(a,1)+5!*Ei(a,4)=exp(−a)*(a4−a3+2a2−3!a+4!)
etc...
 
 
