 
 
 
6.55.5  Matrice de passage et matrice de Jordan : jordan
jordan a comme argument une matrice A d’ordre n.
jordan renvoie 
- 
en mode Xcas (il faut être en mode complexe c’est à dire avoir
coché Complexe dans la configuration 
de CAS lorsqu’il y a des valeurs propres complexes), Mupad ou TI
 une séquencee composée de
deux matrices : une matrice de changement de base P de colonnes les vecteurs 
propres et caractéristiques de A, suivie de la matrice de 
Jordan J associée à A dans la nouvelle base,
- en mode Maple
 la matrice de Jordan J associée à A dans la nouvelle base. On peut 
cependant obtenir la matrice de changement de base P, dans une variable 
passée en second argument, par exemple jordan([[1,0,0],[0,1,1],[1,1,-1]],’P’)
 
On a :
J=P−1AP.
Remarques
Pour rat_jordan :
- 
La syntaxe Maple est aussi valable dans les autres modes, par 
exemple, en mode Xcas, on tape :
 rat_jordan([[4,1,1],[1,4,1],[1,1,4]],’P’)
 On obtient : [[1,-1,1/2],[1,0,-1],[1,1,1/2]]
 puis P renvoie : [[6,0,0],[0,3,0],[0,0,3]]
 ,
On tape : rat_jordan([[-1,1,0],[0,-1,1],[1,0,-1]])
 On obtient : [[1,1,-1],[1,0,-1],[1,-1,2]],[[0,0,0],[0,0,-3],[0,1,-3]]
 On tape (en mode complexe) : jordan([[-1,1,0],[0,-1,1],[1,0,-1]])
 On obtient : [[1,(-i)*sqrt(3)-1,(i)*sqrt(3)-1],[1,2,2], 
[1,(i)*sqrt(3)-1, (-i)*sqrt(3)-1]], [[0,0,0],
[0,((i)*sqrt(3)-3)/2,0],[0,0,((-i)*sqrt(3)-3)/2]]
 
- Lorsque A est symétrique et a des valeurs propres d’ordre multiple,
Xcas renvoie des vecteurs propres orthogonaux (pas forcément normés 
i.e. tran(P)*P) et une matrice diagonale ayant pour diagonale le carré 
de la norme des vecteurs propres. 
par exemple :
 rat_jordan([[4,1,1],[1,4,1],[1,1,4]])
 renvoie : [[1,-1,1/2],[1,0,-1],[1,1,1/2]],[[6,0,0],[0,3,0],[0,0,3]]
 
Pour avoir la matrice de Jordan de :
on tape en mode Xcas, Mupad et TI :
jordan([[1,0,0],[0,1,1],[1,1,-1]])
On obtient :
| ⎡ ⎢
 ⎢
 ⎢
 ⎢
 ⎣
 |  |  |  | ⎤ ⎥
 ⎥
 ⎥
 ⎥
 ⎦
 | , | ⎡ ⎢
 ⎢
 ⎢
 ⎢
 ⎢
 ⎢
 ⎣
 |  |  |  | ⎤ ⎥
 ⎥
 ⎥
 ⎥
 ⎥
 ⎥
 ⎦
 | 
On tape en mode Maple :
jordan([[1,0,0],[0,1,1],[1,1,-1]])
On obtient :
[[1,0,0],[0,-(sqrt(2)),0],[0,0,sqrt(2)]]
On tape en mode Maple :
jordan([[1,0,0],[0,1,1],[1,1,-1]],’P’)
On obtient :
[[1,0,0],[0,-(sqrt(2)),0],[0,0,sqrt(2)]]
puis on tape :
P)
On obtient :
[[-1,0,0],[1,1,1],[0,-sqrt(2)-1,sqrt(2)-1]]
On tape en mode Xcas, Mupad et TI:
jordan([[4,1,-2],[1,2,-1],[2,1,0]])
On obtient :
[[[1,2,1],[0,1,0],[1,2,0]],[[2,1,0],[0,2,1],[0,0,2]]]
En mode complexe et en mode Xcas, Mupad et TI, on tape :
jordan([[2,0,0],[0,2,-1],[2,1,2]])
On obtient :
[[1,0,0],[-2,-1,-1],[0,i,-i]],[[2,0,0],[0,2+i,0],[0,0,2-i]]
 
 
