Le théorème de Pythagore

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# Chapitre 2 Le théorème de Pythagore

## 2.1 Le théorème

Dans un triangle rectangle, le carré de l’hypoténuse est la somme des carrés des deux autres côtés.

## 2.2 Une démonstration qui saute aux yeux

On considère un triangle rectangle T de coés a,b,c (c est l’hypoténuse et on suppose a≥ b), on veut donc montrer que a2+b2=c2.
On fait quatre copies de ce triangle T et deux copies C1 et C2 d’un carré de cotés a+b. On dispose les quatres copies du triangle dans les carrés C1 et C2 selon la figure ci-dessous :

Dans le carré C1 on a 4 triangles T et deux carrés l’un de cotés a (de surface a2) et l’autre de cotés b (de surface b2).
Dans le carré C2 on a 4 triangles T et un carré de cotés c (de surface c2).
Comme les surfaces de C1 et de C2 sont les mêmes on en déduit que :
a2+b2=c2.

    carre(-4-i,-1-i);
    carre(1-i,4-i);
    triangle_rectangle(-0.5-i,0.5-i,2);
    segment(-3-i,-3+2*i);
    segment(-4+i,-1+i);
    segment(-3-i,-4+i);
    segment(-3+i,-1+2*i);
    segment(1+i,2-i);
    segment(1+i,3+2*i);
    segment(4,3+2*i);
    segment(4,2-i);

## 2.3 Le théorème et la formule (a+b)2=a2+2ab+b2

On ne dessine que le carré C2 et on a :
C2 a comme surface (a+b)2
les quatres triangles T ont comme surface 2ab
Le carré central a comme surface c2 et aussi (a+b)2−2ab
Donc :
(a+b)2−2ab=c2
On sait que (a+b)2=a2+2ab+b2 (identité remarquable) donc
c2=a2+b2

## 2.4 Le théorème et la formule (a−b)2=a2−2ab+b2

On considère un carré C de coté c et on place les quatres copies du triangles rectangle T selon la figure ci-dessous :

    triangle_rectangle(0,1,2);
    triangle_rectangle(i,2*i,2);
    triangle_rectangle(-1+i,-2+i,2);
    triangle_rectangle(-1,-1-i,2);

Le carré de coté c est composé d’un carré de cotés a−b et de 4 triangles T donc on a :
(a−b)2+2ab=c2
On sait que (a−b)2=a2−2ab+b2 (identité remarquable) donc
c2=a2+b2.

## 2.5 Le théorème et un puzzle

Soit une forme constituée de deux carrés de cotés a et b (avec a≥ b) disposés selon la figure :
Comment découper cette forme pour faire un puzzle de trois pièces permettant de reconstituer un carré ?
Solution
Si le carré de côtés a a pour sommets (0,a,a(1+i),ia), on joint les points i(a−b) et a(1+i) ainsi que les points i(a−b) et b(1−i).
On obtient :
On tape pour avoir cette figure :

    carre(-4-i,-1-i);
    carre(-4-2*i,-3-2*i);
    segment(-3-2*i,-4+i,affichage=ligne_tiret);
    segment(-1+2*i,-4+i,affichage=ligne_tiret);
    carre(-i,3-i);
    carre(-2*i,1-2*i);
    couleur(triangle_rectangle(2*i,i,3),rouge);
    couleur(triangle_rectangle(1.1-1.1*i,1.1-2.1*i,3),rouge)
    couleur(triangle_rectangle(-2*i,1-2*i,3),vert);
    couleur(triangle_rectangle(3.1-i,4.1-i,3),vert)

On peut simuler un vrai puzzle en déplaçant avec la souris les trois pièces.
On tape :

    A:=point(-4,-1);
    B:=point(-1,-1);
    carre(A,B,C,D);
    E:=element(droite(A,B),0.3);
    carre(E,A,F,G);
    H:=F+C-B;
    segment(H,C);
    segment(H,G);
    P:=polygone(C,H,G,E,B);
    T1:=triangle(H,G,F);
    T2:=triangle(H,C,D);

Puis on bouge le polygône et les 2 triangles pour faire 1 grand carré : pour cela on se met en mode `Pointeur` et on clique sur le côté EB du polygône et on le déplace. Puis on clique sur le côté HC du triangle(H,C,D) et on le déplace pour amener D en E, puis on clique sur le côté HG du triangle(H,G,F) et on le déplace pour amener F en B.
Remarque : on peut tracer les segments HC et HG seulement apres avoir déplacé le polygône et les 2 triangles.
On obtient :

## 2.6 Le théorème et un autre puzzle

On dispose de deux carrés de côtés a et b (a≥ b).
Comment découper le carré de côtés a en quatre morceaux pour pouvoir faire, avec ces 4 morceaux et le carré de coté b, un puzzle de cinq pièces permettant de reconstituer un carré ?
Une solution
On pose a−b=2d et si le carré de côté a a pour sommets (0,a,a(1+i),ia), on joint les points id et a+i(d+b) ainsi que les points d+b et d+ia. Ces deux segments ont pour longueur c=√a2+b2, et se coupent selon quatre angles droits qui deviendront les sommets du carré solution de côtés c=√a2+b2.
On obtient le découpage du carré de côté a et le carré constitué des 5 pièces dans la figure ci-dessous :
Pour faire cette figure on tape :

    carre(-5-2i,-4-2i);
    carre(-5-i,-2-i);
    segment(-5,-2+i,affichage=ligne_tiret);
    segment(-3-i,-4+2i,affichage=ligne_tiret);
    carre(-i,3-i);
    segment(1+2*i,2-i)
    segment(0,3+i)
    carre(-2*i,1-2*i);
    segment(2-i,2.5-2.5*(i));
    segment(1-2*i,1-3*(i));
    segment(2.5-2.5*(i),-0.5-3.5*(i));
    segment(1-2*(i),-1-2*(i));
    segment(-1.5-0.5*i,0);
    segment(-1.5-0.5*i,-1-2*i);
    segment(-0.5-3.5*(i),-1-2*(i));

On peut simuler un vrai puzzle en déplaçant avec la souris les cinq pièces.
On tape :

    A:=point(-4,-1);
    B:=point(-1,-1);
    carre(A,B,C,D):;
    E:=element(droite(A,B),0.3);
    carre(E,A,F,G):;
    I:=milieu(E,B);
    J:=D+B-I;
    K:=rotation(A,pi/2,A+B-I);
    L:=C+A-K;
    segment(I,J);
    segment(K,L);
    M:=inter(droite(I,J),droite(K,L))[0];
    quadrilatere(D,J,M,K);
    quadrilatere(C,J,M,L);
    quadrilatere(A,I,M,K);
    quadrilatere(B,I,M,L);
    quadrilatere(E,A,F,G);

Puis on bouge les 5 quadrilatères dans un grand carre : pour cela, on se met en mode pointeur et pour faciliter la sélection des quadrilatèresn on prend soin de ne pas dessiner le `carre(A,B,C,D):;` grâce au `:;`. On clique successivement sur un côté de chaque quadrilatère et on les déplace. Puis on dessine le `carre(A,B,C,D)` en enlevant le `:`
On obtient :
Exercice : autre découpage
Trouver d’autres solutions.
On peut en effet découper le carre ABCD selon n’importe quelle parallèle à IJ et KL...à vous de la montrer !

## 2.7 La formule (a−b)2=a2−2ab+b2 comme exercice

Soit ABC est un triangle quelconque et L le pied de la hauteur issue de C. On pose AB=c, AC=b, BC=a, CH=h, HB=d1, HA=d2. Montrer que : h2=b2−d22,
h2=a2−d12,
d2=bcos(A),
en déduire que: a2=d12+h2=d12−d22+b2.
En observant la figure, montrer que :
la surface verte V = a2
la surface jaune J= b2
la surface rouge R=d12−d22
Que vaut la surface rouge R par rapport à c et d2, par rapport à b,c,cos(A) ? En déduire la généralistion du théorème de Pythagore.
Solution On applique le théorème de Pythagore aux triangles rectangles ALC et BLC donc :
h2=b2−d22 et
h2=a2−d12,
On a donc : V=R+J=a2=d12−d22+b2
Puisque c=d1+d2 on a d1−d2=c−2d2=c−2bcos(A):
R=d12−d22=c(c−2d2)=c(c−2bcos(A))=c2−2bccos(A)
c2=R+2d22+2d1d2=R+2c*d2=a2−b2+2bccos(A)
Donc
a2=b2+c2−2bccos(A)

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