Les restes chinois : chinrem

### 6.28.13 Les restes chinois : `chinrem`

`chinrem` a comme argument deux listes ayant chacun comme composantes deux polynômes éventuellement donnés par la liste de leurs coefficients par ordre décroissant.
`chinrem` renvoie une liste de composantes deux polynômes.
`chinrem([A,R],[B,Q])` renvoie la liste des polynômes `P` et `S` vérifiant :

S=R.Q, P=A (mod R ), P=B (mod Q )

Il existe toujours une solution `P` si `R` et `Q` sont premiers entre eux, et toutes les solutions sont congrues modulo `S=R*Q`
Trouver les solutions P(x) de :

`⎧ ⎨ ⎩` |
`P(x)=` | `x` | `mod``(x``2``+1)`
`P(x)=` | `x-1` | `mod``(x``2``-1)`

On tape :

`chinrem([[1,0],[1,0,1]],[[1,-1],[1,0,-1]])`

On obtient :

`[[1/-2,1,1/-2],[1,0,0,0,-1]]`

ou on tape :

`chinrem([x,x```^```2+1],[x-1,x```^```2-1])`

On obtient :

`[1/-2*x```^```2+x+1/-2,x```^```4-1]`

donc P(x)=−x2−2.x+1/2 (mod x4−1)
Autre exemple :
On tape :

`chinrem([[1,2],[1,0,1]],[[1,1],[1,1,1]])`

On obtient :

`[[-1,-1,0,1],[1,1,2,1,1]]`

ou on tape :

`chinrem([x+2,x```^```2+1],[x+1,x```^```2+x+1])`

On obtient :

`[-x```^```3-x```^```2+1,x```^```4+x```^```3+2*x```^```2+x+1]`