Exercice 3 prolongement de l’exercice 2

### 11.18.3 Exercice 3 prolongement de l’exercice 2

Soit `SABCD` une pyramide de sommet `S` dont la base `ABCD` est un losange de centre `O` et tel que `SO` est perpendiculaire au plan `ABCD`.
Le plan passant par `C` et perpendiculaire à `SA` coupe `SA`, `SB`, `SC` respectivement en `M`, `N` et `P`.
Montrer que `NP` est parallèle à `BD`.
Pour faire la démonstration avec `Xcas`, on peut taper en supposant que le plan du losange est le plan Oxy et que lepoint A est sur Ox, on tape alors puisque les diagonales d’un losange sont perpendiculaires en leur milieu :

    // demo exo3
    A:=point(a,0,0);
    B:=point(0,b,0);
    C:=point(-a,0,0);
    D:=point(0,-b,0);
    S:=point(0,0,c);
    Q:=perpendiculaire(C,droite(S,A));
    M:=head(inter(Q,droite(S,A)));
    N:=normal(head(inter(Q,droite(S,B))));
    P:=normal(head(inter(Q,droite(S,D))));
    est_parallele(droite(D,B),droite(N,P));

On obtient :
`1`
La démonstration géométrique :
Les triangles `0BS` et `0DS` rectangles en `0` sont égaux puisque `OB=0D` en tant que demi diagonale d’un losange.
Donc les arêtes `SB` et `SD` sont égales ainsi les triangles `SAB` et `SAD` ont 3 cotés égaux ; ils sont donc égaux.
Les triangles `MSN` et `MSP` rectangles en `M` sont égaux (même côté `MS` et leurs angles `S` sont égaux), donc `SN=SP`.
Puisque `SB=SD`, on a donc :
`` `SN/SB``=``SP/SD`
ce qui montre d’après le théorème de Thalès que `NP` est parallèle à `BD`.