Exercice 1

### 11.18.1 Exercice 1

Soit `SABCD` une pyramide de sommet `S` dont la base `ABCD` est un parallélogramme de centre `O`.
Soient `M` et `N` les milieux respectifs de `SA` et `SD`.
Montrer que les plans `OMN` et `SBC` sont parallèles.
Pour faire la figure, on tape :

    // dessin exo1
    A:=point(2,2,0);
    B:=point(-2,2,0);
    C:=point(-3,-2,0);
    D:=point(1,-2,0);
    S:=point(0,0,4);
    polyedre(S,A,B,C,D);
    M:=milieu(S,A);
    N:=milieu(S,D);
    O:=milieu(A,C);
    P:=plan(O,M,N);
    Q:=plan(S,B,C);
    est_parallele(P,Q);

Pour faire la démonstration avec `Xcas`, on tape :

    // demo exo1
    A:=point(a,b,c);
    B:=point(d,e,f);
    D:=point(u,v,w);
    C:=B+(D-A);
    //S:=isobarycentre(A,B,C,D)+t*cross(B-A,D-A);
    S:=point(k,l,m);
    M:=milieu(S,A);
    N:=milieu(S,D);
    O:=milieu(A,C);
    P:=plan(O,M,N);
    Q:=plan(S,B,C);
    est_parallele(P,Q);

On obtient : `1`
ce qui veut dire que les plans `P` et `Q` sont parallèles.
La démonstration géométrique :
Soit `R` le milieu de `AB`.
On a :
`M` est le milieu de `SA` et `N` est le milieu de `SD`, donc `MN` est parallèle à `AD` et `2*MN=AD`
`M` est le milieu de `SA` et `R` est le milieu de `AB`, donc `MR` est parallèle à `SB` et `2*MR=SB`
`O` est le milieu de `AC` et `R` est le milieu de `AB`, donc `OR` est parallèle à `CB` et `2*OR=CB`
ou encore :
`2*MN=AD`
`2*MR=SB`
`2*OR=CB`
La base `ABCD` est un parallélogramme donc :
`overrightarrow` `AD``=BC`
On en déduit que `MNOR` est un parallélogramme dont le plan est parallèle à la face `SBC`.