Primitive et intégrale définie : integrate Int integrer int integration

### 6.20.1 Primitive et intégrale définie : `integrate Int integrer int integration`

`integrate` (ou `int`) permettent de calculer une primitive ou une intégrale définie. La seule différence entre ces deux commandes est que `integrate` écrit avec le symbole ∫ la réponse de la commande `quest()` qui suit l’évaluation de `integrate`.
Par contre `Int` renvoie `integrate` sans l’évaluer : c’est pour avoir la compatibilité avec Maple, lorsque l’on fait un calcul numérique d’intégrales :
On tape :

`Int(exp(x),x,0,1))`

On obtient :

`integrate(exp(x),x,0,1)`

On tape :

`int(exp(x),x,0,1))`

On obtient :

`exp(1)-1)`

On tape :

`evalf(Int(exp(x```^```2),x,0,1))`

Ou on tape :

`evalf(int(exp(x```^```2),x,0,1))`

On obtient :

`1.46265174591`

`integrate` (ou `int` ou `Int`) a un, deux ou quatre arguments.

- avec un argument qui est une expression de la variable `x`, (resp une fonction).
  `integrate` (ou `int`) renvoie alors une expression qui est une primitive de l’expression par rapport à la variable `x` (resp renvoie une fonction primitive de la fonction donnée en argument) On tape :
  `integrate(x```^```2)`
  On obtient :
  `x```^```3/3`
  On tape :
  `f(t):=t```^```2`
  `g:=integrate(f)`
  On obtient :
  `(t)->t```^```3/3`
  Remarque Dans ce cas on peut aussi utiliser `convert` (ou sa version infixée `=>`) avec l’option `int`.
  On tape :
  `f(x):=x```^```2`
  `g(x):=(f(x)=>int)`
  ou
  `g:=(f=>int))`
- avec deux arguments qui sont :
  une expression et une variable,
  `integrate` (ou `int`) renvoie alors une primitive de l’expression par rapport à la variable donnée comme deuxième paramètre.
  On tape :
  `integrate(x```^```2)`
  On obtient :
  `x```^```3/3`
  On tape :
  `integrate(t```^```2,t)`
  On obtient :
  `t```^```3/3`
- avec quatre arguments qui sont :
  une expression, une variable et les bornes de l’intégrale définie,
  `integrate` (ou `int`) renvoie alors la valeur de l’intégrale définie.
  On tape :
  `integrate(x```^```2,x,1,2)`
  On obtient :
  `7/3`
  On tape :
  `integrate(1/(sin(x)+2),x,0,2*pi)`
  On obtient après simplification (appel à `simplify`) :
  `2*pi*sqrt(3)/3`

Exercice 1
Soit

f(x)= |
x
x2−1
| +ln( |
x+1
x−1
| )

Calculer une primitive de f.
On tape :

`int(x/(x```^```2-1)+ln((x+1)/(x-1)))`

On obtient :

`x*log((x+1)/(x-1))+log(x```^```2-1)+1/2*log(2*x```^```2/2-1)`

Si on a cocher `Pas à pas` dans la configuration générale on a en plus, en vert, le détail du calcul :

    Integration of x/(x^2-1): f(u)*u' where f=x->1/(x*2-1) and u=(x^2)/2
    Integrate rational fraction 1/(2*x-1)
    Integration of ln((x+1)/(x-1)) by part of u*v' where u=1 and v=ln((x+1)/(x-1))'
    Integrate rational fraction with denominator x^2-1=0
    roots are deduced from nth-roots of unity

Ou bien on définit la fonction `f` en tapant :

`f(x):=x/(x```^```2-1)+ln((x+1)/(x-1))`

puis on tape :

`int(f(x))`

On obtient bien sûr le même résultat.
Attention
Pour `Xcas`, `log` est égal à `ln` (logarithme népérien) et `log10` est le logarithme en base 10.
Exercice 2
Calculer :

∫ |
2
x6+2 · x4+x2
| dx

On tape :

`int(2/(x```^```6+2*x```^```4+x```^```2))`

On obtient :

`2*((3*x```^```2+2)/(-(2*(x```^```3+x)))+-3/2*atan(x))`

Si on a cocher `Pas à pas` dans la configuration générale on a en plus, en vert, le détail du calcul :

    Integrate rational fraction 1/(x^3+x)^2
    Partial fraction 1/(x^3+x)^2 -> Hermite reduction ->
             integrate squarefree part -(3*x)/(2*x^3+2*x)

Exercice 3
Calculer :

∫ |
1
sin(x)+sin(2 · x )
| dx

On tape :

`integrate(1/(sin(x)+sin(2*x )))`

On obtient :

`(1/-3*log((tan(x/2))```^```2-3)+1/12*log((tan(x/2))```^```2))*2`

Si on a cocher `Pas à pas` dans la configuration générale on a en plus, en vert, le détail du calcul :

    Integrate rational fraction of trigonometric 1/(sin(x)+sin(2*x)) by tan(x/2) change of variable,
                  leading to integral of 1/((1+x^2)*((2*x)/(x^2+1)+(2*(1-x^2)/(x^2+1)*2*x)/(x^2+1)))
    Integrate rational fraction 1/((1+x^2)*((2*x)/(x^2+1)+(2*(1-x^2)/(x^2+1)*2*x)/(x^2+1))),
                   change of variable x=x^2
    Integrate rational fraction (-x-1)/(4*x^2-12*x)