La fonction β : Beta

### 6.10.16 La fonction β : `Beta`

`Beta` a comme argument deux réels a,b ou trois réels a,b,p ou trois réels et 1 a,b,p,1.

- avec 2 arguments a,b, `Beta` calcule les valeurs de la fonction β au point a,b de ℝ2.
  On a par définition :

  β(x,y)= |
  Γ(x)*Γ(y)
  Γ(x+y)

  On a :

  β(1,1)=1

  β(n,1)= |
  1
  n

  et :

  β(n,2)= |
  1
  n(n+1)

  On a :
  `Beta(a,b)`=∫01t(a−1)*(1−t)(b−1)dt
  `Beta(a,b)` est défini pour a et b réels positifs (pour que l’intégrale ∫01t(a−1)*(1−t)(b−1)dt soit convergente).
  On tape :
  `Beta(5,2)`
  On obtient :
  `1/30`
  On tape :
  `simplify(Beta(5,-3/2))`
  On obtient :
  `256/15`
  On tape :
  `Beta(x,y)`
  On obtient :
  `Gamma(x)*Gamma(y)/Gamma(x+y)`
  On tape :
  `Beta(5.1,2.2)`
  On obtient :
  `0.0242053671402`
- avec 3 arguments a,b,p c’est la fonction Beta incomplète pour p entre 0 et 1, c’est :
  `Beta(a,b,p)`=∫0pt(a−1)*(1−t)(b−1)dt, l’integrale va de 0 à p au lieu de 0 à 1 pour la fonction Beta. On tape :
  `Beta(5,2,0.5)`
  On obtient :
  `0.00364583333333`
- avec 4 arguments a,b,p,1 si on met 1 en 4eme argument cela calcule la fonction Beta incomplète regularisée i.e. la fonction Beta incomplète qui est divisé par Beta(a,b). On tape :
  `Beta(5,2,0.5,1)`
  On obtient :
  `0.109375`
  en effet `Beta(5,2)=1/30` et `0.00364583333333*30=0.109375`