Polynôme cyclotomique : cyclotomic

### 6.29.14 Polynôme cyclotomique : `cyclotomic`

`cyclotomic` a comme paramètre un entier n.
`cyclotomic` renvoie la liste des coefficients du polynôme cyclotomique d’ordre n. C’est le polynôme dont les zéros sont toutes les racines n-ième et primitives de l’unité (une racine n-ième de l’unité est primitive si ses puissances engendrent toutes les autres racines n-ième de l’unité).
Par exemple pour n=4, les racines quatrième de l’unité sont : { 1,i,−1,−i},
et les racines primitives sont : {i,−i}.
Donc le polynôme cyclotomique d’ordre 4 est (x−i).(x+i)=x2+1.
On tape :

`cyclotomic(4)`

On obtient :

`[1,0,1]`

On tape :

`cyclotomic(5)`

On obtient :

`[1,1,1,1,1]`

Donc le polynôme cyclotomique d’ordre 5 est x4+x3+x2+x+1 et on a (x−1)*(x4+x3+x2+x+1)=x5−1.
On tape :

`cyclotomic(10)`

On obtient :

`[1,-1,1,-1,1]`

Donc le polynôme cyclotomique d’ordre 10 est x4−x3+x2−x+1 et on a

(x5−1)*(x+1)*(x4−x3+x2−x+1)=x10−1

On tape :

`cyclotomic(20)`

On obtient :

`[1,0,-1,0,1,0,-1,0,1]`

Donc le polynôme cyclotomique d’ordre 20 est x8−x6+x4−x2+1 et on a

(x10−1)*(x2+1)*(x8−x6+x4−x2+1)=x20−1