Développement limité : taylor

### 6.37.2 Développement limité : `taylor`

`taylor` peut avoir de un à quatre paramètres si on veut une écriture avec reste et de un à cinq paramètres si on ne veut pas mettre le reste :
l’expression à développer, `x=a` (par défaut `x=0`), l’ordre du développement (par défaut `5`), ou encore :
l’expression à développer, `x`, l’ordre du développement (par défaut `5`) et le point au voisinage duquel on veut le développement (par défaut `0`).
Si on veut un développement de Taylor sans mettre le reste il faut utiliser comme dernier paramètre l’option `polynom`.
Remarque on peut aussi mettre `x,` `a``,``n` au lieu de `x=``a``,``n`
`taylor` renvoie un polynôme en `x-a`, plus un reste que `Xcas` écrit :
`(x-a)```^```n*order_size(x-a)`
cela signifie que l’on a un développement limité à l’ordre n−1 (ou à l’ordre p<n). En effet `order_size` désigne une fonction telle que, quelque soit `r` positif :
`x```^```r*order_size(x)` tend vers zéro quand `x` tend vers zéro.
Par exemple, les fonctions constantes, la fonction log (ou ln), sont des fonctions `order_size`.
On tape :

`taylor(sin(x),x=1,2)`

Ou on tape (attention à l’ordre des arguments !) :

`taylor(sin(x),x,2,1)`

On obtient :

`sin(1)+cos(1)*(x-1)+(-(1/2*sin(1)))*(x-1)```^```2+ (x-1)```^```3*order_size(x-1)`

On tape :

`taylor(sin(x),x=1,2,polynom)`

On obtient un polynôme :

`sin(1)+cos(1)*(x-1)+(-(1/2*sin(1)))*(x-1)```^```2`

Attention!!!
L’ordre que l’algorithme utilise pour les développements limités peut être plus petit que celui demandé : l’ordre peut diminuer si il y des compensations par exemple : développement de x3+sin(x)3/x−sin(x) au voisinage de `x=0`
On tape :

`taylor(x```^```3+sin(x)```^```3/(x-sin(x)))`

On obtient seulement un développement à l’ordre 2 :

`6+-27/10*x```^2```+x```^```3*order_size(x)`

On tape :

`taylor(x```^```3+sin(x)```^```3/(x-sin(x)),x=0,7)`

On obtient seulement un développement à l’ordre 4 :

`6+-27/10*x```^```2+x```^```3+711/1400*x```^```4+x```^```5*order_size(x)`