Matrice de passage et matrice de Jordan : jordan

### 6.56.5 Matrice de passage et matrice de Jordan : `jordan`

`jordan` a comme argument une matrice A d’ordre n.
`jordan` renvoie

- en mode `Xcas` (il faut être en mode complexe c’est à dire avoir coché `Complexe` dans la configuration de CAS lorsqu’il y a des valeurs propres complexes), `Mupad` ou `TI`
  une séquencee composée de deux matrices : une matrice de changement de base P de colonnes les vecteurs propres et caractéristiques de A, suivie de la matrice de Jordan J associée à A dans la nouvelle base,
- en mode `Maple`
  la matrice de Jordan J associée à A dans la nouvelle base. On peut cependant obtenir la matrice de changement de base P, dans une variable passée en second argument, par exemple
  `jordan([[1,0,0],[0,1,1],[1,1,-1]],’P’)`

On a :
J=P−1AP.
Remarques Pour `rat_jordan` :

- La syntaxe `Maple` est aussi valable dans les autres modes, par exemple, en mode `Xcas`, on tape :
  `rat_jordan([[4,1,1],[1,4,1],[1,1,4]],’P’)`
  On obtient :
  `[[1,-1,1/2],[1,0,-1],[1,1,1/2]]`
  puis `P` renvoie :
  `[[6,0,0],[0,3,0],[0,0,3]]`
  , On tape :
  `rat_jordan([[-1,1,0],[0,-1,1],[1,0,-1]])`
  On obtient :
  `[[1,1,-1],[1,0,-1],[1,-1,2]],[[0,0,0],[0,0,-3],[0,1,-3]]`
  On tape (en mode complexe) :
  `jordan([[-1,1,0],[0,-1,1],[1,0,-1]])`
  On obtient :
  `[[1,(-i)*sqrt(3)-1,(i)*sqrt(3)-1],[1,2,2], [1,(i)*sqrt(3)-1, (-i)*sqrt(3)-1]], [[0,0,0], [0,((i)*sqrt(3)-3)/2,0],[0,0,((-i)*sqrt(3)-3)/2]]`
- Lorsque A est symétrique et a des valeurs propres d’ordre multiple, `Xcas` renvoie des vecteurs propres orthogonaux (pas forcément normés i.e. `tran(P)*P`) et une matrice diagonale ayant pour diagonale le carré de la norme des vecteurs propres. par exemple :
  `rat_jordan([[4,1,1],[1,4,1],[1,1,4]])`
  renvoie :
  `[[1,-1,1/2],[1,0,-1],[1,1,1/2]],[[6,0,0],[0,3,0],[0,0,3]]`

Pour avoir la matrice de Jordan de :

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ |  |
1 | 0 | 0
0 | 1 | 1
1 | 1 | −1
|  | ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

on tape en mode `Xcas`, `Mupad` et `TI` :

`jordan([[1,0,0],[0,1,1],[1,1,-1]])`

On obtient :

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ |  |
0 | −1 | 0
1 | 1 | 1
√ |
2
| −1
| 0 |
− | √ |
2
| −1
|  | ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ | , | ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ |  |
√ |
2
| 0 | 0
0 | 1 | 0
0 | 0 |
− | √ |
2
|  | ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

On tape en mode `Maple` :

`jordan([[1,0,0],[0,1,1],[1,1,-1]])`

On obtient :

`[[1,0,0],[0,-(sqrt(2)),0],[0,0,sqrt(2)]]`

On tape en mode `Maple` :

`jordan([[1,0,0],[0,1,1],[1,1,-1]],’P’)`

On obtient :

`[[1,0,0],[0,-(sqrt(2)),0],[0,0,sqrt(2)]]`

puis on tape :

`P)`

On obtient :

`[[-1,0,0],[1,1,1],[0,-sqrt(2)-1,sqrt(2)-1]]`

On tape en mode `Xcas`, `Mupad` et `TI`:

`jordan([[4,1,-2],[1,2,-1],[2,1,0]])`

On obtient :

`[[[1,2,1],[0,1,0],[1,2,0]],[[2,1,0],[0,2,1],[0,0,2]]]`

En mode complexe et en mode `Xcas`, `Mupad` et `TI`, on tape :

`jordan([[2,0,0],[0,2,-1],[2,1,2]])`

On obtient :

`[[1,0,0],[-2,-1,-1],[0,i,-i]],[[2,0,0],[0,2+i,0],[0,0,2-i]]`