Les coefficients binomiaux : comb nCr

### 6.8.2 Les coefficients binomiaux : `comb nCr`

`comb` (ou `nCr`) a comme paramètre deux entiers positifs `n` et `k`.
`comb(n,k)` ou `nCr(n,k)` calcule Cnk.
On a :

Cnk= |
n!
k!(n−k)!
| = |
n(n−1)...(n−k+1)
k!

On tape :

`comb(5,2)`

On obtient :

`10`

Remarque 1
Si n est un entier positif et k un entier négatif alors :
`comb(n,k)=nCr(n,k)=0`.
Par exemple `comb(5,-2)=nCr(5,-2)=0`.
Mais, on peut définir `comb` (ou `nCr`) avec comme paramètres `n` entier négatif et `k` entier positif par :
`comb(n,k)=` n(n−1)...(n−k+1)/k!
On tape :

`comb(-5,2)`

On obtient :

`15`

En effet −5*−6/2=15
On tape :

`comb(-5,3)`

On obtient :

`-35`

En effet −5*−6*−7/6=−35
Remarque 2 : Relation avec la fonction Γ
On a :
`comb(n,p)=Gamma(1+n)/(Gamma(1+p)*Gamma(1+n-p))`
Quand n est un entier négatif `Gamma(1+n)` est infini et on a :
`comb(n,p)=limit(Gamma(1+x)/(Gamma(1+p)*Gamma(1+x-p)),x,n)`.
Par exemple, on tape :
`comb(-5,3),limit(Gamma(1+x)/(Gamma(1+3)*Gamma(1+x-3)),x,-5)`
On obtient :
`(-35,-35)`