Forme normale de Smith dans ℤ : ismith

### 6.56.14 Forme normale de Smith dans ℤ : `ismith`

`ismith` a comme argument une matrice à coefficients dans ℤ.
`ismith` renvoie les matrices `U, B` et `V` tels que `U` et `V` sont inversibles dans ℤ, `B` est diagonale avec `B[i,i]` divise `B[i+1,i+1]` et on a `B=U*A*V`.
Les `B[i,i]` s’appellent facteurs invariants et permettent entre autre de trouver la structure des groupes abéliens de type fini.
On tape :

`A:=[[9,-36,30],[-36,192,-180],[30,-180,180]]; U,B,V:=ismith(A)`

On obtient :

`[[-3,0,1],[6,4,3],[20,15,12]], [[3,0,0],[0,12,0],[0,0,60]], [[1,24,-30],[0,1,0],[0,0,1]]`

Les facteurs invariants sont 3, 12 et 60.