Matrice de Sylvester de deux polynômes : sylvester

### 6.29.18 Matrice de Sylvester de deux polynômes : `sylvester`

`sylvester` a comme arguments deux polynômes.
`sylvester` renvoie la matrice S de Sylvester des deux polynômes.
Pour deux polynômes A(x)=∑i=0i=n aixi et B(x)=∑i=0i=mbixi, la matrice `S` de Sylvester est une matrice carrée de dimensiom `m+n` dont les `m=degree(B(x))` premières lignes sont composées à partir des coefficients de A(x) :

⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ |
s11=an | s12=an−1 | ⋯ | s1(n+1)=a0 | 0 | ⋯ | 0
s21=0 | s22=an | ⋯ | s2(n+1)=a1 | s2(n+2)=a0 | ⋯ | 0
⋮ | ⋮ | ⋮ | ⋱ | ⋮ | ⋱ | ⋮
sm1=0 | sm2=0 | ⋯ | sm(n+1)=am−1 | sm(n+2)=am−2 | ⋯ | a0
| ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠

et les `n=degree(A(x))` lignes suivantes sont composées de la même façon à partir des coefficients de `B(x)` :

⎛ ⎜ ⎜ ⎝ |
s(m+1)1=bm | s(m+1)2=bm−1 | ⋯ | s(m+1)(m+1)=b0 | 0 | ⋯ | 0
⋮ | ⋮ | ⋮ | ⋱ | ⋮ | ⋱ | ⋮
s(m+n)1=0 | s(m+n)2=0 | ⋯ | s(m+n)(m+1)=bn−1 | bn−2 | ⋯ | b0
| ⎞ ⎟ ⎟ ⎠

On tape :

`sylvester(x```^```3-p*x+q,3*x```^```2-p,x)`

On obtient :

`[[1,0,-p,q,0],[0,1,0,-p,q],[3,0,-p,0,0], [0,3,0,-p,0],[0,0,3,0,-p]]`

On tape :

`det([[1,0,-p,q,0],[0,1,0,-p,q],[3,0,-p,0,0], [0,3,0,-p,0],[0,0,3,0,-p]])`

On obtient :

`-4*p```^```3--27*q```^```2`