Exercices sur les suites

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# Chapitre 26 Exercices sur les suites

La commande `limite` de `Xcas` donne la limite d’une suite losqu’elle existe !
La commande `seqsolve` de `Xcas` donne la valeur d’une suite récurrente de la forme un+1=f(un) ou un+2=f(,un,un+1,...) ou d’un système de suites récurrentes.
Par exemple :
Pour trouver la limite quand n tend vers +∞ de la suite un définie par :
un=∑p=1n1/n+p, on tape :
`limite(sum(1/((n+p)),p=1..n),n,inf)`
On obtient :
`ln(2)`
Pour trouver la valeur de la suite un définie par :
un+2=un+2un+1+n+1 u0=0, u1=1, on tape :
`seqsolve(x+2*y+n+1,[x,y,n],[0,1])`
On obtient :
`(-4*n-(sqrt(2)+1)```^```n*(-sqrt(2)*3-2)-(-(sqrt(2))+1)```^```n*(sqrt(2)*3-2)-4)/8`
Pour trouver la valeur des suite un et vn définies par :
un+1=un+2vn, vn+1=un+n+1 u0=0, v0=1, on tape :
`seqsolve([x+2*y,n+1+x],[x,y,n],[0,1])`
On obtient :
`[(-2*n-(-1)```^```n+2```^```n*4-3)/2,((-1)```^```n+2*2```^```n-1)/2]`
Exercices

1. Soient an, et bn les suites définies par :
   a0, b0 ((a0,b0)≠ (0,0)),
   an+1=an/an2+bn2,
   bn+1=bn/an2+bn2,
   Calculer les 4 premiers termes de ces suites pour a0=a, b0=b,
   On utilise le tableur pour avoir les valeurs des termes de ces suites.
   On tape pour :
   `A0` `1` (ou `a`)
   `B0` `3` (ou `b`)
   `A1` `=simplfy(A0/(A0```^```2+B0```^```2))`
   `B1` `=simplfy(B0/(A0```^```2+B0```^```2))`
   Puis on remplit vers le bas. On obtient commes valeurs dans la colonne `A` :
   `a, a/(a```^```2+b```^```2), a, a/(a```^```2+b```^```2) ...`
   On obtient commes valeurs dans la colonne `B` :
   `b, b/(a```^```2+b```^```2), b, b/(a```^```2+b```^```2) ...`
   Soit la fonction de ℝ2 dans ℝ2 :
   g(x,y)=(x/(x2+y2),y/(x2+y2)) Montrons avec `Xcas` que g∘ g=id
   On tape :
   `g(x,y):=(x/(x```^```2+y```^```2),y/(x```^```2+y```^```2))`
   `simplify((g@g)(x,y))`
   On obtient :
   `x,y`
   La fonction g transforme un vecteur V de ℝ2 en W=V/norm(V)2. On a norm(W)=1/norm(V) donc g transforme W en W/norm(W)2=V.
2. Soient an, bn, et cn les suites définies par :
   a0=1, b0=3 et c0=8,
   an+1=1/2(bn+cn),
   bn+1=1/2(cn+an),
   cn+1=1/2(an+bn),
   Calculer les 4 premiers termes de ces suites,
   Montrer que an+bn+cn est constant.
   Exprimer an+1−bn+1 en fonction de an−bn,
   Montrer que pour n≥ 1, 2an+1=an+an−1.
   En déduire une expression de an, bn, et cn en fonction de n.
   Étudier la convergence de an, bn, et cn.
   On peut faire le calcul des 4 premiers termes avec le tableur, on obtient : `A:=(1,11/2,13/4,35/8,61/16)` pour les premiers termes de an,
   `B:=(3,9/2,15/4,33/8,63/16)` pour les premiers termes de bn,
   `C:=(8,2,5,7/2,17/4)` pour les premiers termes de cn,
   On tape :
   `[A]+[B]+[C]`
   On obtient :
   `[12,12,12,12,12]`
   On a :
   an+1+bn+1+cn+1=1/2(bn+cn+cn+an+an+bn)=an+bn+cn Donc on montre par récurrence que an+bn+cn=12 On a :
   an+1−bn+1=1/2(bn−an)=−1/2(an−bn)
   2an+1=bn+cn=an−1+1/2(bn−1+cn−1)=an−1+an
   Donc on peut définir an par :
   a0=1,a1=11/2 et la relation de récurrence 2an+1=an+an−1.
   L’ensemble E des suites réelles u qui vérifient la relation de récurrence :
   2un+1=un+un−1 pour n>0
   forment un espace vectoriel sur ℝ de dimension 2.
   En effet E est un espace vectoriel sur ℝ et l’application :
   f de E dans ℝ2 qui à u∈ E fait correspondre (u0,u1) est un isomorphisme d’espaces vectoriels.
   On cherche les progressions géométriques un=u0rn qui vérifient :
   2un+1=un+un−1 ont pour raison r=1 ou r=−1/2 donc
   an=α+β(−1/2)n avec :
   α+β=1 et α−β/2=11/2
   On tape :
   `solve([x+y=1,x-y/2=11/2],[x,y])`
   On obtient :
   `[[4,-3]]`
   Donc an=4−3(−1/2)n De même :
   bn=α+β(−1/2)n avec :
   α+β=3 et α−β/2=19/2
   On tape :
   `solve([x+y=3,x-y/2=9/2],[x,y])`
   On obtient :
   `[[4,-1]]`
   Donc bn=4−(−1/2)n et,
   cn=α+β(−1/2)n avec :
   α+β=8 et α−β/2=2
   On tape :
   `solve([x+y=8,x-y/2=2],[x,y])`
   On obtient :
   `[[4,4]]`
   Donc cn=4+4(−1/2)n On vérifie, on tape :
   `seqsolve([(b+c)/2,(c+a)/2,(a+b)/2],[a,b,c,n],[1,3,8])`
   On obtient :
   `[-3*(-1/2)```^```n+4,-(-1/2)```^```n+4,4*(-1/2)```^```n+4]`
   Quand n tend vers +∞ on a (−1/2)n tend vers 0 donc :
   an tend vers 4 quand n tend vers +∞
   bn tend vers 4 quand n tend vers +∞
   cn tend vers 4 quand n tend vers +∞ Prolongement : cas général Soient an, bn, et cn les suites définies par :
   a0, b0 et c0,
   an+1=1/2(bn+cn),
   bn+1=1/2(cn+an),
   cn+1=1/2(an+bn),
   On a toujours :
   an+1+bn+1+cn+1=1/2(bn+cn+cn+an+an+bn)=an+bn+cn Donc :
   an+bn+cn=a0+b0+c0 On a toujours :
   an+1−bn+1=1/2(bn−an)=−1/2(an−bn)
   2an+1=bn+cn=an−1+1/2(bn−1+cn−1)=an−1+an
   Donc an est définie par :
   2an+1=an−1+an et a0 et a1=1/2(b0+c0)
   Donc :
   an=α+β(−1/2)n avec :
   α+β=a0 et α−β/2=1/2(b0+c0)
   On tape :
   `solve([x+y=a0,x-y/2=1/2*(b0+c0)],[x,y])`
   On obtient :
   `[[a0/3+b0/3+c0/3,2*a0/3-b0/3-c0/3]]`
   Donc :
   an=−1/3(a0+b0+c0)+(2a0−b0−c0)(−1/2)n bn=−1/3(a0+b0+c0)+(2b0−c0−ca0)(−1/2)n cn=−1/3(a0+b0+c0)+(2c0−a0−b0)(−1/2)n On vérifie, on tape :
   `seqsolve([(b+c)/2,(c+a)/2,(a+b)/2],[a,b,c,n],[a0,b0,c0])`
   On obtient :
   `[(2*(-1/2)```^```n*a0+a0-(-1/2)```^```n*b0+b0-(-1/2)```^```n*c0+c0)/3, (-(-1/2)```^```n*a0+a0+2*(-1/2)```^```n*b0+b0-(-1/2)```^```n*c0+c0)/3, (-(-1/2)```^```n*a0+a0-(-1/2)```^```n*b0+b0+2*(-1/2)```^```n*c0+c0)/3]`
   On applique la commande `factor` et on obtient :
   `[((2*a0-b0-c0)*(-1/2)```^```n+a0+b0+c0)/3, ((-a0+2*b0-c0)*(-1/2)```^```n+a0+b0+c0)/3, ((-a0-b0+2*c0)*(-1/2)```^```n+a0+b0+c0)/3]`
3. Soient an, bn, et cn les suites définies par :
   a0=1, b0=0 et c0=0,
   an+1=bn+cn,
   bn+1=cn+an,
   cn+1=an+bn,
   Calculer les 4 premiers termes de ces suites,
   Montrer que pour tout n bn=cn
   Calculer an+bn+cn.
   On a :
   an+1+bn+1+cn+1=(bn+cn+cn+an+an+bn)=2(an+bn+cn)
   donc:
   a1+b1+c1=2(a0+b0+c0)
   a2+b2+c2=2(a1+b1+c1)=22(a0+b0+c0)
   etc... an+bn+cn=2n(a0+b0+c0) On en déduit que :
   an=2n bn+1=bn+2n donc
   bn=2n−1+bn−1=2n−1+2n−2+bn−2=..=∑k=0n−12k= Prolongement : cas général Soient an, bn, et cn les suites définies par :
   a0, b0 et c0,
   an+1=bn+cn,
   bn+1=cn+an,
   cn+1=an+bn,
   On a toujours :
   an+1+bn+1+cn+1=bn+cn+cn+an+an+bn=2(an+bn+cn)
   Donc :
   an+bn+cn=2n(a0+b0+c0) On n’a plus bn=cn mais an+1−bn+1=bn−an=−(an−bn),
   Donc :
   an−bn=(−1)n(a0−b0),
   De même :
   an−cn=(−1)n(a0−c0),
   On a :
   an=1/3((an+bn+cn)+an−bn+an−cn)
   an=1/3(2n(a0+b0+c0)+(−1)n(a0−b0)+(−1)n(a0−c0)
   Donc :
   an=1/3(2n(a0+b0+c0)+(−1)n(2a0−b0−c0)
   De même :
   bn=1/3(2n(a0+b0+c0)+(−1)n(2b0−c0−a0)
   cn=1/3(2n(a0+b0+c0)+(−1)n(2c0−b0−a0)
   On vérifie, on tape :
   `seqsolve([b+c,c+a,a+b],[a,b,c,n],[a0,b0,c0])`
   On obtient après avoir fait agir la commande `factor` :
   `[((-b0-c0+2*a0)*(-1)```^```n+2```^```n*(b0+c0+a0))/3, ((-a0-c0+2*b0)*(-1)```^```n+2```^```n*(a0+c0+b0))/3,((-a0-b0+2*c0)*(-1)```^```n+2```^```n(a0+b0+c0))/3]`
4. Explicitez an, bn, et cn les suites définies par :
   a0, b0 et c0,
   an+1=an+cn,
   bn+1=bn+an,
   cn+1=cn+bn,
   On a toujours :
   an+1+bn+1+cn+1=an+cn+bn+an+cn+bn=2(an+bn+cn)
   Donc :
   an+bn+cn=2n(a0+b0+c0) On a :
   an+1−cn+1+bn+1=2an bn+1−an+1+cn+1=2bn cn+1−bn+1+an+1=2cn Malheureusement, on a moins de chances que dans l’exercice précédent...
   On va donc utiliser une solution matricielle.
   Soit :
   `A:=[[1,0,1],[1,1,0],[0,1,1]]` On a :
   `[an,bn,cn]=A```^```n*[a0,b0,c0]`
   Il faut donc calculer An.
   On tape :
   `P,B:=jordan(A)`
   On obtient :
   `[[1,sqrt(3)*(-i)-1,sqrt(3)*(i)-1],[1,sqrt(3)*(i)-1,sqrt(3)*(-i)-1],[1,2,2]],[[2,0,0],[0,(sqrt(3)*(i)+1)/2,0],[0,0,(sqrt(3)*(-i)+1)/2]]`
   On tape :
   `P1:=simplify(inv(P))`
   On obtient :
   `[[1/3,1/3,1/3],[((i)*sqrt(3)-1)/12,((-i)*sqrt(3)-1)/12,1/6],[((-i)*sqrt(3)-1)/12,((i)*sqrt(3)-1)/12,1/6]]` On tape :
   `An:=factor(simplify(exp2trig(pow2exp(P*Bn*P1))))`
   On obtient :
   `[[(2```^```n+2*cos(n*pi/3))/3, (2```^```n-cos(n*pi/3)-sqrt(3)*sin(n*pi/3))/3, (2```^```(n+1)-2*cos(n*pi/3)+sin(n*pi/3)*2*sqrt(3))/6],`
   `[(2```^```n-cos(n*pi/3)+sqrt(3)*sin(n*pi/3))/3, (2```^```n+2*cos(n*pi/3))/3, (2```^```(n+1)-2*cos(n*pi/3)-2*sqrt(3)*sin(n*pi/3))/6],`
   `[(2```^```n-cos(n*pi/3)-sqrt(3)*sin(n*pi/3))/3, (2```^```n-cos(n*pi/3)+sqrt(3)*sin(n*pi/3))/3, (2```^```(n+1)+4*cos(n*pi/3))/6]]`
   On tape :
   On obtient :
   On tape en mode complexe :
   `simplify(exp2trig(pow2exp(seqsolve([x+z,y+x,z+y],[x,y,z,n],[a0,b0,c0]))))`
   On obtient après avoir utilisé `factor`:
   `((a0+b0+c0)*2```^```n+cos(n*pi/3)*(2*a0-b0-c0)+sqrt(3)*sin(n*pi/3)*(-b0+c0))/3,`
   `((a0+b0+c0)*2```^```n-cos(n*pi/3)*(a0-2*b0+c0)+sqrt(3)*(a0-c0)*sin(n*pi/3))/3`
   `((a0+b0+c0)*2```^```n-cos(n*pi/3)*(a0+b0-2*c0)+sqrt(3)*(-a0+b0)*sin(n*pi/3))/3`
   Si on pose :
   j=(sqrt(3)*(i)−1)/2 on a j2=(−sqrt(3)*(i)−1)/2.
   Donc :
   B=[[2,0,0],[0,−j2,0],[0,0,−j]]
   P=[[1,2j2,2j],[1,2j,2j2],[1,2,2]]
   P1=P−1
   On peux faire les calculs à la main.... :
   `B:=[[2,0,0],[0,-j```^```2,0],[0,0,-j]]`
   `Bn:=matpow(B,n)`
   `Bn:=[[2```^```n,0,0],[0,(-j```^```2)```^```n,0],[0,0,(-j)```^```n]]`
   `P:=[[1,2j```^```2,2j],[1,2j,2j```^```2],[1,2,2]]`
   `P1:=[[1/3,1/3,1/3],[j/6,j```^```2/6,1/6],[j```^```2/6,j/6,1/6]]`
   `An:=P*Bn*P1`
   On obtient pour `An` après simplification à la main :
   `[[u(n),w(n),v(n)],[v(n),u(n),w(n)],[w(n),v(n),u(n)]]`
   avec :
   `u(n):=1/3*(2```^```n+(-j)```^```n+(-j```^```2)```^```n])`
   `v(n):=1/3*(2```^```n+j*(-j)```^```n+j```^```2*(-j```^```2)```^```n)`
   `w(n):=1/3*(2```^```n+j```^```2*(-j)```^```n+j*(-j```^```2)```^```n)`
   Donc on a :
   an=a0*u(n)+b0*w(n)+c0*v(n)
   bn=a0*v(n)+b0*u(n)+c0*w(n)
   cn=a0*w(n)+b0*v(n)+c0*u(n)

Prolongements
Soit E un ensemble fini de cardinal n.
Soit an le nombre de parties de E de cardinal congru à 0mod3,
Soit bn le nombre de parties de E de cardinal congru à 1mod3,
Soit cn le nombre de parties de E de cardinal congru à 2mod3,

1. Montrer que :
   an+bn+cn=2n.
2. Montrer que :
   an=1+comb(n,3)+comb(n,6)+... bn=comb(n,1)+comb(n,4)+comb(n,7)+... cn=1+comb(n,2)+comb(n,5)+comb(n,8)+...
3. En développant (1+X)n successivement pour X=1, X=j, X=j2, calculer an, bn, cn.
4. Donner la valeur de a0, b0 et c0. Calculer:
   an+1 en fonction de an et cn,
   bn+1 en fonction de bn et an,
   cn+1 en fonction de cn et bn Et faire le lien avec l’exercice précédent.

1. Soit n=3q+r avec 0≤ r<3.
   Le nombre de parties de E est 2n donc an+bn+cn=2n.
2. Les parties de E de cardinal congru à 0mod3 sont de cardinal p avec p∈ (0,3,6..3q) Les parties de E de cardinal congru à 1mod3 sont de cardinal p avec p∈ (1,4,7..3q−2) si r=0 ou p∈ (1,4,7..3q+1) si 0<r<3 Les parties de E de cardinal congru à 2mod3 sont de cardinal p avec p∈ (2,5,8..3q−1) si r=0 ou r=1 ou p∈ (2,5,8..3q+2) si r=2 Donc an=1+comb(n,3)+comb(n,6)+...comb(n,3q) bn=comb(n,1)+comb(n,4)+comb(n,7)+...+comb(n,3q−2)+comb(n,3q+1) cn=1+comb(n,2)+comb(n,5)+comb(n,8)+...+comb(n,3q−1)+comb(n,3q+2)
3. On a :
   (1+1)n)=1+comb(n,1)+comb(n,2)+comb(n,3)+....+comb(n,n)
   (1+j)n)=1+j*comb(n,1)+j2*comb(n,2)+comb(n,3)+....+jn*comb(n,n)
   (1+j2)n)=1+j2*comb(n,1)+j*comb(n,2)+comb(n,3)+....+j2ncomb(n,n)
   On additionne ces égalités après les avoir mulltiplié successivement par :
   (1,1,1) puis par (1,j2,j) puis par (1,j,j2). On obtient (puisque j3=1 et 1+j+j2=0) :
   3an=2n+(1+j)n+(1+j2)n
   3bn=2n+j2(1+j)n+j(1+j2)n
   3cn=2n+j(1+j)n+j2(1+j2)n
4. On a :
   a0=1, b0=c0=0
   Quand on rajoute un élément α à E :
   parmi les sous-ensembles de cardinal congru à 0mod3, il y en a an qui ne contiennent pas α et cn qui contiennent α donc
   an+1=an+cn,
   parmi les sous-ensembles de cardinal congru à 1mod3 il y en a bn qui ne contiennent pas α et an qui contiennent α donc
   bn+1=bn+an,
   parmi les sous-ensembles de cardinal congru à 2mod3 il y en a cn qui ne contiennent pas α et bn qui contiennent α donc
   cn+1=cn+bn,
   Donc an, bn, cn sont définies par :
   a0=1, b0=c0=0
   an+1=an+cn,
   bn+1=bn+an,
   cn+1=cn+bn
   On tape :
   `simplify(exp2trig(pow2exp(seqsolve([x+z,y+x,z+y],[x,y,z,n],[1,0,0]))))`
   On obtient :
   `[(2```^```n+2*cos(n*pi/3))/3,`
   `(2```^```n-cos(n*pi/3)+(sqrt(3))*sin(n*pi/3))/3),`
   `(2```^```n-cos(n*pi/3)+(-(sqrt(3))*sin(n*pi/3))/3]`
5. On tape :
   On obtient :
6. On tape :
   On obtient :

## 26.1 Exercices sur les séries

La commande `sum` de `Xcas` calcule les sommes de certaines séries.
Voici queques exemples :
On tape :
`sum(1/2```^```n,n=0..inf)`
On obtient :
`2`
On tape :
`sum(n/2```^```n,n=0..inf)`
On obtient :
`2`
On tape :
`sum(1/(n*(n+1)),n=1..inf)`
On obtient :
`1`
On tape :
`sum(1/((2n+1)*(2n-1)),n=1..inf)`
On obtient :
`1/2`
On tape :
`sum(1/n```^```2,n=1..inf)`
On obtient :
`pi```^```2/6`
On tape :
`sum((-1)```^```(n+1)/n,n=1..inf)`
On obtient :
`ln(2)`
On tape :
`sum((-1)```^```n/(2n+1),n=0..inf)`
On obtient :
`pi/4`
Exercices

1. Montrer que :
   (1−x)*∑k=0nxk=1−xn+1 En déduire que :

   ∑k=pnxk= |
   1−xn+1
   1−x

   Montrer que :

   ∑k=pinfxk=xp |
   1
   1−x

   Application :
   Calculer : ∑k=0inf2−k,∑k=0inf3−k
2. Soit un=n/2n. Monter que :
   4un+1<3un lorsque n>2
   En déduire que un tend vers 0 quand n tend vers +∞.
3. pour ceux qui connaissent le critére de d’Alembert sur les séries à termes positifs,
   Calculer un+1/un (pour ceux qui connaissent le critére de d’Alembert sur les séries à termes positifs).
   En déduire que la série de terme général un est convergente.
4. pour ceux qui ne connaissent pas le critére de d’Alembert,
   Montrer que limN−>∞∑k=0Nun existe et calculer sa valeur.
5. Calculer la somme ∑k=0Nun.

On tape :
`u(n):=n/2```^```n`
`factor(simplify(4u(n+1)-3u(n)))`
On obtient :
`(-n+2)/2```^```n`
On a donc :
un+1/un<3/4
un+1/un=n+1/2n
Donc un+1/un tend vers 1/2 quand n tend vers +∞.
On tape :
`limit(u(n+1)/u(n),n,inf)`
On obtient :
`1/2`
Calcul de SN=∑n=0N un
SN=0+∑n=1N 1/2n+∑n=2N 1/2n+...∑n=kN 1/2n+..∑n=NN 1/2n.
Donc
SN=1+1/2N+1/2+1/2N+..1/2k+1/2N+1/2N
SN=∑k=1N1/2k+N/2N
Comme N/2N tend vers 0 quand N tend vers +∞, on en déduit que :
SN tend vers ∑k=0∞1/2k=2.

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