Développement de Taylor d’une fonction de plusieurs variables : series taylor

### 6.37.4 Développement de Taylor d’une fonction de plusieurs variables : `series taylor`

On peut avoir le développement de Taylor d’ordre p d’une fonction f(x1,..xn) au voisinage de a1,..an avec `series`. Pour avoir le développement de Taylor d’ordre p d’une fonction f(x1,..xn) au voisinage de a1,..an avec `taylor` on se ramène à une variable en posant :
xj=aj+ht pour j=1..n et
en définissant la fonction :
g(t)=f(a1+h1*t,...an+hn*t).
On a alors :
g(1)−g(0)=f(a1+h1,...an+hn)−f(a1,...an)
On développe g à l’ordre p au voisinage de t=0.
On transforme ce développement en un polynôme puis on remplace t par 1 et hj par xj−aj. Il faut ensuite rajouter le reste.
Dans ce cas les 2 commandes `series` et `taylor` sont utilisables.
Prenons comme exemple le développement à l’ordre 3 de la fonction de 2 variables f(x,y)=y2/x3 au voisinage de (1,−1).
On tape :
`f(x,y):=y```^```2/x```^```3`
`series(f(x,y),[x,y],[1,-1],3)`
On obtient :
`1-2*(y+1)-3*(x-1)+(y+1)```^```2+6*(x-1)*(y+1)+6*(x-1)```^```2-3*(x-1)*(y+1)```^```2-12*(x-1)```^```2*(y+1)-10*(x-1)```^```3`
Ou bien on tape :
`g(t):=f(1+h*t,-1+k*t)`
`series(g(t),t=0,3,polynom)(t=1)` ou
`taylor(g(t),t=0,3,polynom)(t=1)`
On obtient une expression de h et k où h=x−1 et k=y+1.
:
`1-3*h-2*k+6*h```^```2+k```^```2+6*h*k-10*h```^```3-3*h*k```^```2-12*h```^```2*k`
On tape :
`(1-3*h-2*k+6*h```^```2+k```^```2+6*h*k-10*h```^```3-3*h*k```^```2-12*h```^```2*k)(h=x-1,k=y+1])`
On obtient le premier résultat :
`1+1-2*y-3*x+1-4*y+y```^```2-6*x+6*x*y+6*x```^```2+1-6*y+3*y```^```2- 9*x+18*x*y-3*x*y```^```2+18*x```^```2-12*x```^```2*y-10*x```^```3`
Il faut dans les 2 cas rajouter le reste qui vaut :
(h2+k2)3/2*є(h,k) avec є(h,k)−>0 quand h2+k2−>0