Certificat de Wilf-Zeilberger pour une identité : wz_certificate

### 6.8.6 Certificat de Wilf-Zeilberger pour une identité : `wz_certificate`

`wz_certificate(U,res,n,k)` renvoie le certificat de Wilf-Zeilberger pour une identité de la forme `sum(U,k)=res` Par exemple, si on veut prouver que pour tout n∈ ℕ :
`sum((-1)```^```k*comb(n,k)*comb(2k,k)*4```^```(n-k),k=0..n);` estégale à :
`comb(2n,n)`,
on forme le quotient :
`F(n,k):=(-1)```^```k*comb(n,k)*comb(2k,k)*4```^```(n-k)/comb(2n,n)`.
Il s’agit donc de montrer que :
`sum(F(n,k),k=0..n) == sum(F(n+1,k),k=0..n+1)`
On cherche s’il existe une fonction `G` telle que :
`F(n+1,k)-F(n,k)=G(n,k+1)-G(n,k)`, comme ca `sum(F(n+1,k),k=0..n+1)-sum(F(n,k),k=0..n)=`
`sum(F(n+1,k)-F(n,k),k=1..n)+F(n+1,n+1)+F(n+1,0)-F(n,0)=`
`sum(G(n,k+1)-G(n,k),k=1..n)+F(n+1,n+1)+F(n+1,0)-F(n,0)`
ce qui est une somme qui se simplifie en :
`G(n,n+1)-G(n,1)+F(n+1,n+1)+F(n+1,0)-F(n,0)`.
Le certificat de Wilf-Zeilberger renvoie `R(n,k)` qui est une fonction rationnelle de `n` et `k` prouvant l’existence de `G`, plus precisement `G(n,k)=R(n,k)*F(n,k-1)`.
On tape :

`wz_certificate((-1)```^```k*comb(n,k)*comb(2k,k)*4```^```(n-k),comb(2n,n),n,k);`

On obtient `R(n,k)` :

`(-1+2*k)/(1+2*n)`

On tape :

`F(n,k):=(-1)```^```k*comb(n,k)*comb(2k,k)*4```^```n-k)/comb(2n,n)`
`R(n,k):=(-1+2*k)/(1+2*n)`
`G(n,k):=R(n,k)*F(n,k-1)`
`simplify(G(n,n+1)-G(n,1)+F(n+1,n+1)+F(n+1,0)-F(n,0))`

On obtient la valeur de `sum(F(n+1,k),k=0..n+1)-sum(F(n,k),k=0..n)` :

`0`

ce qui prouve que `sum(F(n,k),k=0..n)` ne dépend pas de `n` et donc
`sum((-1)```^```k*comb(n,k)*comb(2k,k)*4```^```(n-k),k=0..n)/comb(2n,n)` ne dépend pas de `n` et donc cette somme vaut `F(0,0)` c’est à dire `1`
Donc on a prouver que :
`sum((-1)```^```k*comb(n,k)*comb(2k,k)*4```^```(n-k),k=0..n);` estégale à :
`comb(2n,n)`