Développement limité : taylor

### 6.37.2 Développement limité : taylor

taylor peut avoir de un à quatre paramètres si on veut une écriture avec reste et de un à cinq paramètres si on ne veut pas mettre le reste :
l’expression à développer, x=a (par défaut x=0), l’ordre du développement (par défaut 5), ou encore :
l’expression à développer, x, l’ordre du développement (par défaut 5) et le point au voisinage duquel on veut le développement (par défaut 0).
Si on veut un développement de Taylor sans mettre le reste il faut utiliser comme dernier paramètre l’option polynom.
Remarque on peut aussi mettre x,a,n au lieu de x=a,n
taylor renvoie un polynôme en x-a, plus un reste que Xcas écrit :
(x-a)`^`n*order_size(x-a)
cela signifie que l’on a un développement limité à l’ordre n−1 (ou à l’ordre p<n). En effet order_size désigne une fonction telle que, quelque soit r positif :
x`^`r*order_size(x) tend vers zéro quand x tend vers zéro.
Par exemple, les fonctions constantes, la fonction log (ou ln), sont des fonctions order_size.
On tape :

taylor(sin(x),x=1,2)

Ou on tape (attention à l’ordre des arguments !) :

taylor(sin(x),x,2,1)

On obtient :

sin(1)+cos(1)*(x-1)+(-(1/2*sin(1)))*(x-1)`^`2+ (x-1)`^`3*order_size(x-1)

On tape :

taylor(sin(x),x=1,2,polynom)

On obtient un polynôme :

sin(1)+cos(1)*(x-1)+(-(1/2*sin(1)))*(x-1)`^`2

Attention!!!
L’ordre que l’algorithme utilise pour les développements limités peut être plus petit que celui demandé : l’ordre peut diminuer si il y des compensations par exemple : développement de x3+sin(x)3/x−sin(x) au voisinage de x=0
On tape :

taylor(x`^`3+sin(x)`^`3/(x-sin(x)))

On obtient seulement un développement à l’ordre 2 :

6+-27/10*x`^2`+x`^`3*order_size(x)

On tape :

taylor(x`^`3+sin(x)`^`3/(x-sin(x)),x=0,7)

On obtient seulement un développement à l’ordre 4 :

6+-27/10*x`^`2+x`^`3+711/1400*x`^`4+x`^`5*order_size(x)