Groupes de permutations

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# Chapitre 29 Groupes de permutations

## 29.1 Les théorèmes

Soit `J``n``=[0,1..n-1]`. Une permutation `p` de `n` éléments est une application bijective de `J``n` dans lui même et induit une application `π``p` de `ℤ``n` dans lui même (`π``p``(x``i``)=x``p(i)`).
Les permutations forment un groupe pour la composition des applications.
Un cycle `c` est une permutation telle qu’il existe un enter k (0 ≤ k ≤ n−1) vérifiant :
pour j=0...k−1 c(aj)=aj+1 et c(ak)=a0
pour j=k+1...n−1 c(aj)=aj
k est appelé l’ordre du cycle c (ck=id).
Un cycle d’ordre k est aussi appelé une permutation circulaire d’ordre k.
Une transposition t est un cycle d’ordre 2 (t2=id).
Théorème 1
Toute permutation peut s’exprimer comme produit de cycles disjoints.
L’ordre d’une permutation p est le plus petit commun multiple k des ordres des cycles disjoints obtenus (pk=id).
Théorème 2
Toute permutation peut s’exprimer comme produit de transpositions.

## 29.2 Notations

Une permutation `p` sera notée :
`[p(0),p(1),...,p(n-1)]`

Un cycle `c` d’ordre k sera noté :
`[a``0``,a``1``,...,a``k``]` si `c(a``0``)=a``1``...c(a``k``)=a``0`

Attention :
`[0,2,1]` représente la permutation `p` telle que :
`p(0)=0, p(1)=2, p(2)=1`
mais représente aussi le cycle `c` tel que :
`c(0)=2, c(2)=1, c(1)=0`

## 29.3 Exercices

Exercice 1
Exprimer les permutations suivantes comme produit de cycles disjoints et déterminer leurs signatures, leurs ordres et leurs inverses:
`[1,2,0]`
`[2,0,1]`
`[2,1,0]`
`[1,2,0,3]`
`[1,0,3,2]`
`[2,1,3,0]`
`[2,4,5,0,1,3]`
`[5,0,4,2,3,1]`
`[5,3,4,6,2,0,1]`
Exercice 2
Ecrire les produits de cycles suivants sous la forme :
1/ d’une permutation
2/ d’un produit de cycles disjoints
`[[0,1,2,3,4],[0,4,5],[1,3,5]]`
`[[0,1,2,3],[1,2,3,4],[2,3,4,0]]`
`[[0,1],[1,2],[2,3],[3,4],[4,0]]`
`[[1,5][4,5],[5,6]]`
Exercice 3
Calculer p1000 pour les permutations p suivantes :
`[2,5,7,8,3,4,1,0,6]`
`[2,5,0,3,1,4]`
Exercice 4
Déterminer le groupe engendré par les permutations suivantes :
`[2,1,0,3]` et `[3,1,2,0]`

## 29.4 Corrections des exercices

Exercice 1
On tape :
`p:=[1,2,0]`
On tape :
`permu2cycles(p)`
On obtient :
`[[0,1,2]]`
On tape :
`signature(p)`
On obtient :
`1`
On tape :
`permuorder(p)`
On obtient :
`3`
On tape :
`perminv(p)`
On obtient :
`[2,0,1]`
Exercice 2
On tape :
`cl:=[[0,1,2,3,4],[0,4,5],[1,3,5]]`
On tape :
`cycles2permu(cl)`
On obtient :
`[0,4,3,1,5,2]`
Exercice 3
On tape :
`permu2cycles([2,5,7,8,3,4,1,0,6])`
On obtient :
`[[0,2,7],[1,5,4,3,8,6]]`
On tape :
`p:=[2,5,7,8,3,4,1,0,6]`
p est décomposable en un cycle d”orde 3 et un cycle d’ordre 6, p est donc d’ordre 6 puisque ppcm(3,6)=6 (`lcm(3,6)=6`).
Donc p6=id. On a `irem(1000,6)=4` donc :
p1000=p4
On tape :
`p2:=p1op2(p,p)`
`p4:=p1op2(p2,p2)`
On obtient :
`[2,8,7,5,1,6,3,0,4]`
Donc p1000=p4= [2,8,7,5,1,6,3,0,4]
On vérifie que p6=id :
`p6:=p1op2(p2,p4)`
On obtient bien :
`[0,1,2,3,4,5,6,7,8]`
On procède de la même façon pour l’autre permutation, on tape :
`p:=[2,5,0,3,1,4]`
On tape :
`permu2cycles(p)`
On obtient :
`[[0,2],[1,5,4]]`
p est décomposable en un cycle d”orde 2 et un cycle d’ordre 3, p est donc d’ordre 6 puisque `lcm(2,3)=6`.
Donc p6=id. On a `irem(1000,6)=4` donc :
p1000=p4
On tape :
`p2:=p1op2(p,p)`
`p4:=p1op2(p2,p2)`
On obtient :
`[0,5,2,3,1,4]`
Donc p1000=p4=[0,5,2,3,1,4]
On vérifie que p6=id :
`p6:=p1op2(p2,p4)`
On obtient bien :
`[0,1,2,3,4,5]`
Exercice 4
On tape :
`groupermu([2,1,0,3],[3,1,2,0])`
On obtient :
`[[2,1,0,3],[3,1,2,0],[0,1,2,3],[2,1,3,0],[3,1,0,2],[0,1,3,2]]`
qui sont :
`a,b,a∘ a,b∘ a,a∘ b,a∘ b∘ a` avec `a:=[2,1,0,3]` et `b:=[3,1,2,0]`
On peut vérifier par exemple que :
`a∘ a=p1op2(a,a)=b∘ b=p1op2(b,b)=[0,1,2,3]=id` et que
`a∘ b∘ a=p1op2(a,p1op2(b,a))=b∘ a∘ b=p1op2(b,p1op2(a,b))=[0,1,3,2]`

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