Exercices sur trigonométrie et complexes

# Chapitre 11 Exercices sur trigonométrie et complexes

## 11.1 Les polynômes de Tchebychev

### 11.1.1 L’énoncé

Les polynômes de Tchebychev Tn sont tels que cos(nx)=Tn(cos(x)).
On a ainsi :
T0(x)=1
T1(x)=x
T2(x)=2x2−1

1. Montrer que pour n≥ 1 on a :
   Tn+1(x)=2xTn(x)−Tn−1(x).
2. Écrire une fonction de n qui renvoie le polynôme Tn, en utilisant la relation Tn+1(x)=2xTn(x)−Tn−1(x).
3. Écrire une fonction de n qui renvoie le polynôme Tn, en utilisant les nombres complexes et la formule de Moivre.

### 11.1.2 La solution avec `Xcas`

Dans `Xcas`, la fonction `tchebyshev1` qui renvoie le nième polynôme de Tchebyshev de 1ière espèce existe. Cela va pouvoir permettre la vérification de vos programmes

1. La relation Tn+1(x)=2xTn(x)−Tn−1(x) est vraie pour n=1 car T2(x)=2xT1(x)−T0(x)=2x*x−2 On a : cos((n+1)x)=cos(x)*cos(nx)−sin(x)*sin(nx) et
   cos((n−1)x)=cos(x)*cos(nx)+sin(x)*sin(nx)
   donc cos((n+1)x)+cos((n−1)x)=2cos(x)*cos(nx)
   ou encore cos((n+1)x)=2cos(x)*cos(nx)−cos((n−1)x) c’est à dire :
   Tn+1(x)=2xTn(x)−Tn−1(x)
2. On écrit une fonction `Tcheb(n)` qui renvoie le polynôme Tn, en utilisant la relation Tn+1(x)=2xTn(x)−Tn−1(x). :

       Tcheb(n):={
       local j,T0,T1,Tj;
       T0:=1;
       T1:=x;
       pour j de 2 jusque n faire
       Tj:=2*x*T1-T0;
       T0:=T1;
       T1:=Tj;
       fpour;
       return T1;
       }:;

   On tape : `Tcheb(7)`
   On obtient :`64*x```^```7-112*x```^```5+56*x```^```3-7*x`
3. On écrit une fonction `Tchebich(n)` qui renvoie le polynôme Tn, en utilisant la formule de Moivre (cos(nx)=re((cos(x)+isin(x))n)) et l’égalité sin(x)2=1−cos(x)2 :

       Tchebich(n):={
       local f;
       f(x,y):=normal(re((x+i*y)^n));
       return f(x,sqrt(1-x^2));
       }:;

   On tape : `Tchebich(7)`
   On obtient :`64*x```^```7-112*x```^```5+56*x```^```3-7*x`
   Remarque
   On peut vérifier car cette fontion existe dans `Xcas`, on tape On tape : `tchebyshev1(7)`
   On obtient :`64*x```^```7-112*x```^```5+56*x```^```3-7*x`