Exercice 3 prolongement de l’exercice 2

### 11.18.3 Exercice 3 prolongement de l’exercice 2

Soit SABCD une pyramide de sommet S dont la base ABCD est un losange de centre O et tel que SO est perpendiculaire au plan ABCD.
Le plan passant par C et perpendiculaire à SA coupe SA, SB, SC respectivement en M, N et P.
Montrer que NP est parallèle à BD.
Pour faire la démonstration avec Xcas, on peut taper en supposant que le plan du losange est le plan Oxy et que lepoint A est sur Ox, on tape alors puisque les diagonales d’un losange sont perpendiculaires en leur milieu :

    // demo exo3
    A:=point(a,0,0);
    B:=point(0,b,0);
    C:=point(-a,0,0);
    D:=point(0,-b,0);
    S:=point(0,0,c);
    Q:=perpendiculaire(C,droite(S,A));
    M:=head(inter(Q,droite(S,A)));
    N:=normal(head(inter(Q,droite(S,B))));
    P:=normal(head(inter(Q,droite(S,D))));
    est_parallele(droite(D,B),droite(N,P));

On obtient :
1
La démonstration géométrique :
Les triangles 0BS et 0DS rectangles en 0 sont égaux puisque OB=0D en tant que demi diagonale d’un losange.
Donc les arêtes SB et SD sont égales ainsi les triangles SAB et SAD ont 3 cotés égaux ; ils sont donc égaux.
Les triangles MSN et MSP rectangles en M sont égaux (même côté MS et leurs angles S sont égaux), donc SN=SP.
Puisque SB=SD, on a donc :
SN/SB=SP/SD
ce qui montre d’après le théorème de Thalès que NP est parallèle à BD.