 
 
 
Retour à la page personnelle de Bernard Parisse.2.1  Exercice : étude de  f(x)=2x2−1/6x2+x−2
- 
Domaine de définition
 On tape :
 solve(6x^2+x-2)
 On obtient :
 [(-2)/3,1/2]
 Donc f est définie sur ℝ−{−2/3,1/2}
- Dérivée
 On tape :
 factor(diff((2x^2-1)/(6x^2+x-2))
 On obtient :
 (2*x^+4*x+1)/((2*x-1)^2*(3*x+2)^2)
 On tape :
 normal(solve(2*x^+4*x+1))
 On obtient :
 [(-sqrt(2)-2)/2,(sqrt(2)-2)/2]
 On tape :
 evalf([(-sqrt(2)-2)/2,(sqrt(2)-2)/2])
 On obtient :
 [-1.70710678119,-0.292893218813]
 On tape :
 subst((2x^2-1)/(6x^2+x-2),x=-1.70710678119)
 On obtient :
 0.35044026276
 On tape :
 subst((2x^2-1)/(6x^2+x-2),x=-0.292893218813)
 On obtient :
 0.465886267852
 f a donc deux extremum en ≃ (-1.71,0.35) et (-0.29,0.47)
 Donc f est :
 croissante sur ]−∞;(−√2−2)/2]
 décroissante sur [(−√2−2)/2; −2/3[
 décroissante sur ]−2/3;(√2−2)/2]
 croissante sur [(√2−2)/;1/2[
 croissante sur ]1/2;+∞[
- Branches infinies
 On tape :
 limit((2x^2-1)/(6x^2+x-2),x=inf)
 On obtient :
 1/3
 On tape :
 limit((2x^2-1)/(6x^2+x-2),x=-inf)
 On obtient :
 1/3
 Donc  y=1/3 est asymptote.
 On tape :
 limit((2x^2-1)/(6x^2+x-2),x=-2/3,-1)
 On obtient :
 -infinity
 On tape :
 limit((2x^2-1)/(6x^2+x-2),x=-2/3,1)
 On obtient :
 +(infinity)
 Donc  x=−2/3 est asymptote.
 On tape :
 limit((2x^2-1)/(6x^2+x-2),x=1/2,-1)
 On obtient :
 +infinity
 On tape :
 limit((2x^2-1)/(6x^2+x-2),x=1/2,1)
 On obtient :
 -infinity
 Donc  x=1/2 est asymptote.
- Graphe
 On tape :
 plotfunc((2x^2-1)/(6x^2+x-2),x=-8..8),
 affichage(droite(x=1/2),droite(x=-2/3),droite(y=1/3),1)
 On obtient :
   
2.2  Exercice : étude de  f(x)=  acos (sin(x))+  asin (cos(x))
- 
Domaine de définition et période.
 
- Montrer que :
 f(x+π)=f(π/2−x)=π−f(x).
- Graphe de f et préciser son centre de symétrie et son axe de symétrie.
- Valeur de f(x) sur [0,π/2] et sur π/2,π].
Rappels
On a :
sin(x)=cos(π/2−x)
cos(x)=sin(π/2−x)
sin(x+π)=−sin(x)
cos(x+pi)=−cos(x)
  asin (x) est une bijection de [-1,1] sur [−π/2,π/2]
sin(  asin (x))=x et
si x∈ [−π/2,π/2] alors   asin (sin(x))=x
  acos (x) est une bijection de [-1,1] sur [0,π]
cos(  acos (x))=x et
si x∈ [0,π] alors   acos (cos(x))=x
  asin (−x)=−  asin (x)
  acos (−x)=π−  acos (x)
  asin (x)+  acos (x)=π/2
  asin (x)′=1/√(1−x2)
  acos (x)′=−1/√(1−x2)
La solution avec Xcas
On tape :
f(x):=acos(sin(x))+asin(cos(x))
donc
f(x):=acos(cos(pi/2-x))+asin(sin(pi/2-x))
- 
f(x+π)=f(π/2−x)=π−f(x).
 On tape :
 simplify(f(x+pi)+f(x))
 On obtient :
 pi
 En effet :
 f(x+pi)=acos(-sin(x))+asin(-cos(x))
 et on a :
 acos (−sin(x))=π−  acos (sin(x))
 asin (−cos(x))=−  asin (cos(x))
 D’où le rèsultat.
 On tape :
 simplify(f(pi/2-x)+f(x))
 On obtient :
 pi
 En effet :
 f(pi/2-x)=acos(cos(x))+asin(sin(x))
 et on a :
 acos (sin(x))+  asin (sin(x)=π/2
 asin (cos(x))+  acos (cos(x))=π/2
 D’où le rèsultat.
- Graphe de f.
 On tape :
 f(x):=acos(sin(x))+asin(cos(x))
 plotfunc(f(x))
 On obtient :
  Le point S(π/4,π/2 est un centre de symétrie car 
on a f(x)+f(pi/2−x)=π donc les points A(x,f(x) et B(π/2−x,f(π/2−x)
sont 2 points de la courbe qui sont symétriques par rapport à S. Le point S(π/4,π/2 est un centre de symétrie car 
on a f(x)+f(pi/2−x)=π donc les points A(x,f(x) et B(π/2−x,f(π/2−x)
sont 2 points de la courbe qui sont symétriques par rapport à S.
 En effet 1/2*(x+π/2−x)=π/4 et 
1/2*(f(x)+f(π/2−x))=π/2.
 La droite d’équation x=3π/4 est un axe de symétrie de la courbe.
 En effet f(x+π)=f(π/2−x) et donc les points
C(x+π,f(x+π) et D(π/2−x,f(π/2−x) sont symétriques par rapport à la droite x=3π/4
puisque 1/2*(x+π+π/2−x)=3π/4
- Valeur de f(x) sur [0,π/2] et sur π/2,π].
On tape :
 assume(x>0 and x<pi/2)
 simplify(f(x))
 On obtient :
 pi-2*x
 Si x∈ [0,π/2] on a π/2−x∈ [0,π/2] donc
f(x):=  acos (cos(π/2−x))+  asin (sin(π/2−x))=π−2x
On tape :
 assume(x>=pi/2 and x<=pi)
 simplify(f(x))
 On obtient :
 0
 Si x∈ [π/2,π] on a x−π/2∈ [0,π/2] donc
f(x):=  acos (cos(π/2−x))+  asin (sin(π/2−x))=
 acos (cos(x−π/2))−  asin (sin(x−π/2−))=x−π/2−(x−π/2)=0
Retour à la page personnelle de Bernard Parisse.
 
 
