Έστω ο πίνακας 
Ma = 

![$ \left.\vphantom{
\begin{array}{ccc}
2a-1 & a & 2a-1\\
a^2+a-2 & a^2-1 & a-1\\
a^2+a-1 & a^2+a-1 & a
\end{array}}\right]$](img40.png) 
a) Για ποιες τιμές του a, είναι ο Ma αντιστρέψιμος;
Προσδιορίστε την τάξη του  όταν δεν είναι αντιστρέψιμος.
b) Υπολογίστε τον αντίστροφο του πίνακα M2.
Απάντηση :
Εισάγουμε τον πίνακα πληκτρολογώντας:
 M:=[[2a-1,a,2a-1],[a^2+a-2,a^2-1,a-1],[a^2+a-1,a^2+a-1,a]] 
Για να υπολογίσουμε την ορίζουσα του M, πληκτρολογούμε:
 det(M)
και παίρνουμε:
2*a^4+-2*a^3+-2*a^2+2*a
Για να βρούμε τον αντίστροφο του M πληκτρολογούμε:
 inv(M)
και παίρνουμε:
Για να έχει αντίστροφο, πρέπει ο παρανομαστής να είναι διάφορος του 0. 
Πληκτρολογούμε:
 solve(2a^4-2*a^3-2*a^2+2*a,a)
και βλέπουμε πως:
 [-1,0,1]
ο πίνακας είναι αντιστρέψιμος εάν 
a  [- 1, 0, 1]
[- 1, 0, 1]
Στο ίδιο συμπέρασμα καταλήγουμε παραγοντοποιώντας τον παρανομαστή:
 factor(2a^4-2*a^3-2*a^2+2*a)
διότι το αποτέλεσμα είναι:
2*(a+1)*a*(a-1)^2
Για να βρούμε την τάξη του πίνακα όταν δεν είναι αντιστρέψιμος πληκτρολογούμε:
 [rank(subst(M,a,-1)),rank(subst(M,a,0)),rank(subst(M,a,1))]
και βλεπουμε πως είναι:
 [2, 2, 1]
Για να βρούμε τώρα τον αντίστροφο του πίνακα M2 πληκτρολογούμε:
 inv(subst(M,a,2))
και παίρνουμε:
Επισήμανση: για να μην κάνουμε αντικαταστάσεις μπορούμε να 
ορίσουμε τον πίνακα M σαν συνάρτηση του a, γράφοντας:
M(a):=[[2a-1,a,2a-1],[a^2+a-2,a^2-1,a-1],[a^2+a-1,a^2+a-1,a]]
Για να βρούμε τώρα τον αντίστροφο του πίνακα M2  
πληκτρολογούμε απλά: inv(M(2)).
Έστω ο πίνακας 
A = 

![$ \left.\vphantom{
\begin{array}{ccc}
1 & 1 & a\\
1 & a & 1\\
a & 1 & 1
\end{array}}\right]$](img52.png) 
Για ποιές τιμές του a, διαγωνοποιείται;
Απάντηση:
Ορίζουμε τον πίνακα πληκτρολογώντας:
A:=[[1,1,a],[1,a,1],[a,1,1]] 
Για να δούμε για ποιες τιμές του a διαγωνοποιείται ο πίνακας, 
βρίσκουμε την μορφή Jordan του A πληκτρολογώντας:
egvl(A)
Από το αποτέλεσμα:
που γράφεται και:
[[-a+1,0,0],[0,a+2,0],[0,0,a-1]]
βλέπουμε πως άν a   1 υπάρχουν 3 διακριτές ιδιοτιμές  
- a + 1, a + 2, a - 1, ενώ
άν a = 1 υπάρχει μία διπλή ιδιοτιμή (
  1 υπάρχουν 3 διακριτές ιδιοτιμές  
- a + 1, a + 2, a - 1, ενώ
άν a = 1 υπάρχει μία διπλή ιδιοτιμή ( = 0) και μία απλή ιδιοτιμή  (
 = 0) και μία απλή ιδιοτιμή  ( = 3).
 = 3).
Στην συνέχεια βρίσκουμε τον  πίνακα μετάβασης από τα ιδιοδιανύσματα,
 πληκτρολογώντας:
egv(A)
Τα ιδιοδιανύσματα είναι οι στήλες του πίνακα:
που γράφεται και:
 
[[1,1,1],[0,1,-2],[-1,1,1]]
Μπορούμε επίσης να έχουμε ταυτόχρονα και τον πίνακα μετάβασης και την 
 μορφή Jordan του πίνακα A πληκτρολογώντας:
 
jordan(A)
Το αποτέλεσμα είναι μία λίστα δύο πινάκων [P, B] 
όπου ο P είναι ο πίνακας μετάβασης και
B = P-1AP:
που γράφεται και:
[[[1,1,1],[0,1,-2],[-1,1,1]],[[-a+1,0,0],[0,a+2,0],[0,0,a-1]]]
Παρατηρούμε ότι εκτελώντας: a:=1 και στην συνέχεια jordan(A) 
ομαδοποιούνται οι διπλές ιδιοτιμές και παίρνουμε:
που γράφεται και:
[[[1,-3,0],[1,0,-3],[1,3,3]],[[3,0,0],[0,0,0],[0,0,0]]]
Βλέπουμε λοιπόν πως ο A διαγωνοποιείται για οποιαδήποτε τιμή 
και αν έχει το  a και 
B = P-1AP.