 
 
 
1.22.1  Συντελεστές Fourier : fourier_an και fourier_bn ή fourier_cn
 
Έστω f μια T-περιοδική συνάρτηση στο
ℝ η οποία είναι συνεχής εκτός ίσως από ένα πεπερασμένο αριθμό σημείων.
Μπορεί να αποδειχθεί ότι εάν η f είναι συνεχής στο x, τότε :
όπου οι συντελεστές an, bn, n∈ N, (ή cn, n ∈ Z) είναι οι 
συντελεστές Fourier της f.
Η εντολή 	
fourier_an και 	
fourier_bn ή 	
fourier_cn 
υπολογίζει αυτούς τους συντελεστές. 
	
fourier_an
	
fourier_an παίρνει 4 η 5 ορίσματα : μια παράσταση expr
που εξαρτάται από μια μεταβλητή, το όνομα της μεταβλητής (για παράδειγμα x), την
περίοδο T, έναν ακέραιο n και έναν πραγματικό a (ως προεπιλογή a=0).
	
fourier_an(expr,x,T,n,a) επιστρέφει τον συντελεστή 	
Fourier an μιας 
συνάρτησης f 
μεταβλητής x που ορίζεται στο [a,a+T[ από f(x)=expr και τέτοια ώστε
f να είναι περιοδική με περίοδο T:
Για να απλοποιήσουμε τους υπολογισμούς, μπορούμε να εισάγουμε 	
assume(n,integer) 
πριν καλέσουμε την 	
fourier_an για να βεβαιώσουμε 
ότι ο n είναι ένας ακέραιος.
Παράδειγμα :  Έστω η συνάρτηση f, με περίοδο T=2, που ορίζεται στο [−1,1[ από την 
f(x)=x2.
Για να υπολογίσουμε τον συντελεστή a0 εισάγουμε:
	
fourier_an(x^2,x,2,0,-1)
Έξοδος :
	
1/3
Για τον συντελεστή an (n≠ 0) εισάγουμε:
	
assume(n,integer);fourier_an(x^2,x,2,n,-1)
Έξοδος :
	
4*(-1)^n/(pi^2*n^2)
	
fourier_bn
	
fourier_bn παίρνει 4 ή 5 ορίσματα : μια παράσταση expr
που εξαρτάται από μια μεταβήτή, το όνομα της μεταβλητής (για παράδειγμα x), την 
περίοδο T, έναν ακέραιο n και έναν πραγματικό a (απο προεπιλογή a=0).
	
fourier_bn(expr,x,T,n,a) επιστρέφει τον συντελεστή 	
Fourier bn μιας 
συνάρτησης f μεταβλητής x που ορίζεται στο [a,a+T[ από f(x)=expr και περιοδική με περίοδο T:
Για να απλοποιήσουμε τους υπολογισμούς, μπορούμε να εισάγουμε 	
assume(n,integer) 
πριν καλέσουμε την 	
fourier_bn για να βεβαιώσουμε 
ότι ο n είναι ένας ακέραιος.
Παραδείγματα 
- 
Έστω η συνάρτηση f, περιόδου T=2, ορισμένη στο [−1,1[ από την 
f(x)=x2.
 Για τον συντελεστή bn (n≠ 0) εισάγετε :	
assume(n,integer);fourier_bn(x^2,x,2,n,-1)
 Έξοδος :	
0 
- Έστω η συνάρτηση f, περιόδου T=2, ορισμένη στο [−1,1[ από την
f(x)=x3.
 Για τον συντελεστή b1 εισάγετε :	
fourier_bn(x^3,x,2,1,-1)
 Έξοδος :	
(2*pi^2-12)/pi^3
 
	
fourier_cn
	
fourier_cn παίρνει 4 ή 5 ορίσματα : μια παράσταση expr
που εξαρτάται από μια μεταβήτή, το όνομα της μεταβλητής (για παράδειγμα x), την 
περίοδο T, έναν ακέραιο n και έναν πραγματικό a (από προεπιλογή a=0).
	
fourier_cn(expr,x,T,n,a) επιστρέφει τον συντελεστή 	
Fourier cn μιας συνάρτησης
f μεταβλητής x ορισμένης στο [a,a+T[ από την f(x)=expr και περιοδική με περίοδο T:
Για να απλοποιήσουμε τους υπολογισμούς, μπορούμε να εισάγουμε
την 	
assume(n,integer) πριν να καλέσουμε την 	
fourier_cn
για να βεβαιώσουμε ότι ο n είναι ένας ακέραιος.
Παραδείγματα
- 
Βρείτε τους συντελεστές Fourier cn της περιοδικής συνάρτησης f
περιόδου 2 και ορισμένης στο [−1,1[ ως  f(x)=x2.
 Εισάγετε, για να πάρετε c0 :	
fourier_cn(x^2,x,2,0,-1)
 Έξοδος:	
1/3 Εισάγετε, για να πάρετε cn :	
assume(n,integer) 	
fourier_cn(x^2,x,2,n,-1)
 Έξοδος:	
2*(-1)^n/(pi^2*n^2)
 
- Βρείτε τους συντελεστές Fourier cn της περιοδικής συνάρτησης f, περιόδου 
2, και ορισμένης στο [0,2[ ως  f(x)=x2.
 Εισάγετε, για να πάρετε c0 :	
fourier_cn(x^2,x,2,0)
 Έξοδος:4/3 Εισάγετε, για να πάρετε cn :	
assume(n,integer) 	
fourier_cn(x^2,x,2,n)
 Έξοδος:	
((2*i)*pi*n+2)/(pi^2*n^2)
 
- Βρείτε τους συντελεστές Fourier cn της περιοδικής συνάρτησης f 
περιόδου 2.π και ορισμένης στο [0,2.π[ ως  f(x)=x2.
 Είσοδος  :	
assume(n,integer) 	
fourier_cn(x^2,x,2*pi,n)
 Έξοδος :	
((2*i)*pi*n+2)/n^2
 Αν δεν βεβαιώσετε ότι n είναι ακέραιος με την εντολή 	
assume(n,integer), το αποτέλεσμα δεν θα μπορεί 
να απλοποιηθεί :	
((2*i)*pi^2*n^2*exp((-i)*n*2*pi)+2*pi*n*exp((-i)*n*2*pi)+
 	
(-i)*exp((-i)*n*2*pi)+i)/(pi*n^3)
 Θα μπορούσαμε να απλοποιήσουε αυτήν την παράσταση αντικαθιστώντας το
	
exp((-i)*n*2*pi) με 1, Εισαγωγή :	
subst(ans(),exp((-i)*n*2*pi)=1) Έξοδος :	
((2*i)*pi^2*n^2+2*pi*n+-i+i)/pi/n^3
 Αυτή η παράσταση απλοποιείται τότε με την 	
normal, και το τελικό αποτέλεσμα είναι :	
((2*i)*pi*n+2)/n^2
 Επομένως, για n ≠ 0,  cn=2inπ+2/n2.
Όπως φαίνεται σε αυτό το παράδειγμα, ειναι προτιμότερο να εισάγουμε 	
assume(n,integer) πριν καλέσουμε 	
fourier_cn.
 Πρέπει να υπολογίσουμε επίσης cn για n=0, εισάγουμε :	
fourier_cn(x^2,x,2*pi,0)
 Έξοδος :	
4*pi^2/3
 Επομένως, για n= 0,  c0=4.π2/3.
Σχόλια :
- 
Εισάγουμε 	
purge(n) για να άρουμε την υπόθεση που έγινε
για το n.
- Εισάγουμε 	
about(n) ή 	
assume(n), για να μάθουμε ποια υπόθεση έγινε
για το n.
 
 
