 
 
 
Retour à la page personnelle de Bernard Parisse.Chapitre 28  Les équations différentielles résolubles
28.1  Équation linéaire à coefficients constant du 2ième ordre
Ce sont les équations de la forme ay″+by′+cy=f(x)
28.2  Équation linéaire en y et y′ du 1ier ordre
La solution générale de l’équation complète est égale à la somme
solution générale de l’équation sans second membre et d’une solution 
particulière.
- 
Résoudre :
 2xy′+y−3x2=0
 Avec Xcas
 On tape :
 normal(desolve(2*x*y’+y-3*x^2))
 On obtient :
 ((5*sqrt(x)*c_0+3*x^3)*1/5)/x
 
- Résoudre :
 y′*√1+x2−y=x+√1+x2
 On résoud l’équation sans second membre :
 y′/y=1/√1+x2
 On trouve :
 y=c*exp(  asinh (x))=c*(√1+x2+x)
Puis on fait varier la constante c :
 y′=c′*exp(  asinh (x))+c*exp(  asinh (x))*1/√1+x2
 donc :
 y′*√1+x2−y=c′*exp(  asinh (x))*√1+x2=c′*(x+√1+x2)*√1+x2
 On obtient c′ :
c′=(x+√1+x2)*exp(−  asinh (x))/√1+x2=1/√1+x2
donc :
 c′=1/√1+x2
 On intègre :
 c=  asinh (x)+k=−(ln(√1+x2−x))+k
 On a donc :
 y=(  asinh (x)+k)*(√x2+1+x)=(−ln(√1+x2−x)+k)*(√x2+1+x)
 Avec Xcas
 On tape :
 normal(desolve(y’*sqrt(1+x^2)-y=x+sqrt(1+x^2),y))
 On obtient :
 (sqrt(x^2+1)+x)*c_0+(-sqrt(x^2+1)-x)*
 ln(abs(sqrt(x^2+1)-x))
28.3  Équation du 1ier ordre avec facteur intégrant
Ce sont les équations différentielles qui peuvent être multipliées
par f(x) de façon à obtenir une différentielle totale.
- 
Résoudre :
 xy′−y=0 soit xdy−ydx=0
 On multiplie par f(x)=1/x2 pour que l’équation différentielle soit la
différentielle totale de la fonction F(x,y)=y/x.
 Donc y=kx.
 Avec Xcas
 On tape :
 normal(desolve(x*y’-y))
 On obtient :
 c_0*x
 
- Résoudre :
 2xyy′+x2−y2+a2=0
 On multiplie par f(x) pour que l’équation différentielle soit la
différentielle totale de la fonction F. La fonction
f(x) doit vérifier pour cela :
 d(2xyf(x))/dx=d((x2−y2+a2)f(x))/dy
 cela donne :
 2yf(x)+2xyf′(x)=f(x)(−2y)
 ou encore :
 xf′(x)+2f(x)=0
 donc f(x)=1/x2 est un facteur integrant et l’équation différentielle 
est la differentielle totale de F qui vérifie :
 dF(x,y)/dy=2y/x.
 Donc F(x,y)=y2/x+g(x) et
 −y2/x2+g′(x)=(x2−y2+a2)/x2
 donc g′(x)=1+a2/x2 soit g(x)=x−a2/x
 Puisque dF=0, on en déduit que :
 F(x,y)=y2/x+x−a2/x=(y2+x2−a2)/x=c_0
 Donc les solutions sont :
 y=√(−x2+a2+c_0*x) et y=−√(−x2+a2+c_0*x)
 Avec Xcas
 On tape :
 normal(exp2pow(desolve(2*x*y*y’+x^2-y^2+a^2)))
 On obtient :
 [sqrt(a^2-c_1*x-x^2),-(sqrt(a^2-c_1*x-x^2))]
28.4  Équation homogène du premier ordre résoluble en y′
Pour les équations homogènes du premier ordre non résoluble en y voir
28.7.
Les équations homogènes du premier ordre résoluble en y sont de la 
forme a(x,y)*y′=b(x,y) où a(x,y) et b(x,y) sont des fonctions 
homogènes de même degré p (a(t*x,t*y)=tp*a(x,y) et 
b(t*x,t*y)=tp*b(x,y)).
Pour résoudre les équations homogènes on pose y/x=t. 
-  
Résoudre :
 2xyy′+x2−y2=0
 On pose y=t*x.
 On a : dy/dx=x*dt/dx+t donc :
 2*t*(x*dt/dx+t)+1−t2=0 soit à résoudre :
 2*t*x*dt+(1+t2)dx=0
 On obtient une équation à variables séparées :
 2*t*dt/(1+t2)=−dx/x.
 Donc x=k/(t2+1) et y=k*t/(t2+1).
 Avec Xcas
 On tape :
 normal(desolve(2*x*y*y’+x^2-y^2))
 On obtient :
 [(-i)*x,(i)*x,pnt[c_0/(‘ t‘^2+1),(‘ t‘*c_0)/(‘ t‘^2+1)]]
 où ‘ t‘ est le paramétrage.
 
- Résoudre :
 xy′−y−√x2+y2=0
On pose y=t*x.
On a : dy/dx=x*dt/dx+t donc :
 x2*dt/dx+x*t−x*t−√x2+t2*x2=0
 √x2+t2*x2=|x|*√1+t2 soit à résoudre :
 x*dt−√1+t2*dx=0 si x>0
 x*dt+√1+t2*dx=0 si x<0
 ou encore
 |x|t′=√1+t2
 donc =dx/|x|=signe(x)*dx/x=dt/√(1+t2)
 Donc :
 Si x>0 on a : x=k*(t+√(1+t2)); y=k*t*(t+√(1+t2)) avec k>0
 Si x<0 on a : x=k/(t+√(1+t2)); y=k*t/(t+√(1+t2)) avec k<0
 Si x>0 on a : (x/k−t)2=1+t2
 2kxt=k2*x2−1 ou encore
 y=kx2/2−1/(2k)
Si x<0 on a : (k/x−t)2=1+t2
 2kt/x=k2/x2−1 ou encore
 y=k/2−x2/(2k)
 Avec Xcas
 On tape :
 normal(desolve(x*y’-y-sqrt(x^2+y^2)))
 On obtient :
 [(-i)*x,(i)*x,pnt[(sqrt(‘ t‘^2+1)+‘ t‘)*c_0,(‘ t‘*sqrt(‘ t‘^2+1)+‘ t‘^2)*c_0]]
 où ‘ t‘ est le paramétrage.
- Résoudre :
 3x3y′−(3x2−y2)y=0
 On pose t=y/x et on obtient :
 y′=t−t3/3=dy/dx=t+x*dt/dx donc :
 dx/x=−3*dt/(t3) et y=t*x
x=k*exp(3/(2*t2)) et y=k*t*exp(3/(2*t2))
 Avec Xcas
 On tape :
 normal(desolve(3*x^3*diff(y)=((3*x^2-y^2)*y),y))
 On obtient :
 [0,pnt[c_0*exp(3/(‘ t‘^2*2)),‘ t‘*c_0*exp(3/(‘ t‘^2*2))]]
 où ‘ t‘ est le paramétrage.
- Résoudre :
 x+y*y′=√x2+y2
On pose :
 t=x2+y2
 On a :
 dt/dx=2x+2ydy/dx donc
 dt/dx=2√t
 donc dx=dt/(2√t)
 x+k=√t, y=s*√t−x2=s*√2*k*√t−k2 avec s=± 1.
 On a donc :
 y=s*√2*k*(x+k)−k2=s*√2*k*x+k2 avec s=± 1, k+2x>0 et 
k+x>0,
 Ou bien on pose y/x=t donc dy/dx=t+x*dt/dx
 On a x+y*y′=√x2+y2 :
 x+tx(t+x*dt/dx)=|x|*√1+t2
 Après simplification par x :
 t*x*dt/dx=s*√1+t2−1−t2
 tdt/(s*√1+t2−(1+t2))=dx/x
 Pour x>0, s=1 et on a
 ln((−4t2−8−8√t2+1)/(2t2))=ln(x/k)
 Donc :
 x=k(−4t2−8−8√t2+1)/(2t2)
 y=k(−4t2−8−8√t2+1)/(2t)
 Pour x<0, s=−1 et on a
 ln((−4t2−8+8√t2+1)/(2t2))=ln(x/k)
 Donc :
 x=k(−4t2−8+8√t2+1)/(2t2)
 y=k(−4t2−8+8√t2+1)/(2t)
 Avec Xcas
 On tape :
 desolve(x+y*y’=sqrt(x^2+y^2),y)
 On obtient :
 [(i)*x,(-i)*x,0,pnt[c_0/(sqrt(‘ t‘^2+1)-1),(‘ t‘*c_0)/(sqrt(‘ t‘^2+1)-1)]]
 où ‘ t‘ est le paramétrage.
 
28.5  Équation de Bernoulli
Les équations de Bernoulli sont de la forme a(x)y′+b(x)y=c(x)yn et se 
résolvent en posant u=1/yn−1
- 
Résoudre :
 xy′+2y+xy2
 Avec Xcas
 On tape :
 simplify(desolve(x*y’+2*y+x*y^2,y))
 On obtient :
 [1/(x^2*c_0-x)]
- Résoudre :
 xy′−2y=xy3
 Avec Xcas
 On tape :
 simplify(desolve(x*diff(y)-2*y=(x*y^3),y))
 On obtient :
 [(-(x^2*sqrt(-10*x^5+25*c_0)))/(2*x^5-5*c_0)]
28.6  Équation à variables séparées
Les équations à variables séparées sont de la forme a(y)dy=b(x)dx et 
se résolvent en intégrant chaque membre.
- 
Résoudre :
 x*y′*ln(x)−(3*ln(x)+1)*y
 On a :
 dy/y=(3*ln(x)+1)dx/(ln(x)*x)=3/x+1/(ln(x)*x) et
 ln(y/k)=3*ln(x)+ln(ln(x))=ln(x3*ln(x))
 donc
 y=k*x3*ln(x)
 Avec Xcas
 On tape :
 normal(desolve(x*y’*log(x)-(3*log(x)+1)*y,y))
 On obtient :
 c_0*x^3*ln(x)
 
- Résoudre :
 y′=2*√y
 On a :
 dy/(2√) y=dx
 donc
 √y=x+k
 ou encore :
 y=(x+k)2
 Avec Xcas
 On tape :
 desolve(y’=2*sqrt(y),y)
 On obtient :
 [((2*x-c_0)^2)/4]
28.7  Équation non résoluble en y′
On sait résoudre si l’équation est : 
- 
incomplète en x
 c’est à dire l’équation est de la forme F(y,y′)=0
- incomplète en y
 c’est à dire l’équation est de la forme F(x,y′)=0
- homogéne en x et y et non résoluble en y′
 c’est à dire l’équation est de la forme F(y/x,y′)=0 aprés division par 
une puissance convenable de x.
- de la forme y=x*y′+f(y′) c’est à dire est une équation de 
Clairaut : pour la résolution voir 28.8
On sait résoudre ces équations à condition de trouver un paramétrage de
de la courbe F(X,Y)=0 par X=f(t),Y=g(t).
On pose alors :
- 
Équation incomplète en x
 y=f(t),dy/dx=g(t)
- Équation incomplète en y
 x=f(t),dy/dx=g(t)
- Équation homogéne en x et y et non résoluble en y′
 y/x=f(t),dy/dx=g(t)
- 
Résoudre :
 y2+y′2=1
 On pose :
 y′=t et y=√1−t2 ou y=−√1−t2
 dy=−s*t*dt/√1−t2 avec s=± 1
 dx=dy/t=−s*dt/√1−t2
 x=−s*  asin (t)+k avec k=cste donc
 s*x+k=  asin (t) et sin(s*x+k)=t
 y=s*√1−t2 donc y=s*√1−sin(s*x+k)2=± cos(s*x+k)2)
 les solutions sont donc :
 [cos(x+k1),−cos(x+k2)]
- Résoudre :
 y2+y′2=1,y(0)=1/2
 si y(0)=1/2 on a k=pi/3 et cos(x+pi/3)=sin(pi/6−x)
 les solutions sont donc :
 [cos(x+pi/3)=sin(pi/6−x),−cos(x+2*pi/3)=sin(pi/6+x)]
 Avec Xcas
 On tape :
 desolve(y^2+y’^2=1,y)
 On obtient :
 [sin(-c_0+x),sin(-c_0-x)]
 On tape :
 desolve([y^2+y’^2=1,y(0)=1/2],y)
 On obtient :
 [sin(pi/6+x),sin(pi/6-x)]
 
- Résoudre :
 (y+y′)4+y′+3*y
 On pose :
 y+y′=2t ce qui donne :
 y=−t−8t4 et dy/dx=2t−y=3t+8t4 soit dx=dy/(3t+8t4)
 on a donc :
 dy/dt=−1−32t3 et dx=(−1−32t3)/(3t+8t4) dt
 On tape :
 int((-1-32*t^3)/(3*t+8*t^4),t)
 On obtient :
 (ln(1/(abs(t)^3*abs(8*t^3+3)^11)))/9
 donc
 x=−(ln(abs(t)3*abs(8*t3+3)11))/9+k et
 y=−t−8*t4
 Avec Xcas
 On tape :
 desolve((y+diff(y))^4+diff(y)+3*y,y)
 Mais on n’obtient pas de résultat.
- Résoudre :
 y′2=4*sqrt(y)
 On a :
 y′=2*y1/4
 2*y(3/4)/3=x+k
Donc :
 y=(3(x+k)/2)(4/3)=exp(4/3*ln(3(x+k)/2))
 Avec Xcas
 On tape :
 desolve((diff(y))^2=(4*sqrt(y)),y)
 On obtient :
 [exp(4*ln(((-48*c_0+96*x)^(1/3))/4)),...]
28.8  Équation de Clairaut
 
C’est une équation de la forme y=x*y′+f(y′) que l’on résout en posant 
y′=dy/dx=t. On a donc y=t*x+f(t),(x+f′(t))*dt=0.
Donc l’intégrale générale est t=m=cste et x=−f′(t),y=−t*f′(t)+f(t).
Cela définit une infinité de droites Dm d’équation y=mx+f(m) 
(m∈ ℝ) et l’intégrale singulière x=−f′(t),y=−t*f′(t)+f(t)
qui est l’enveloppe des droites Dm.
Résoudre :
y−xy′=√a2+b2*y′2
On pose y′=dy/dx=t et f(t)=√a2+b2*t2.
On a :
f′(t)=b2*t/√a2+b2*t2
donc comme solution les droites :
y=m*x+√a2+b2*m2
et comme intégrale singulière :
x=−b2*t/√a2+b2*t2,y=−b2*t2/√a2+b2*t2+√a2+b2*t2
Avec Xcas
On tape :
desolve(y-x*diff(y)=sqrt(a^2+b^2*diff(y)^2),y)
On obtient :
[c_0*x+sqrt(a^2+b^2*c_0^2),
[-((sqrt(a^2+b^2*‘ t‘^2)*‘ t‘*b^2)/(‘
t‘^2*b^2+a^2)), (sqrt(a^2+b^2*‘ t‘^2)*a^2)/(‘ t‘^2*b^2+a^2)]] 
On peut dessiner les solutions avec Xcas, on tape :
assume(a=[1,0,5]);
assume(b=[1,0,5]);
assume(m=[1,-5,5]);
droite(y=m*x+sqrt(a^2+b^2*m^2));
plotparam(-b^2*t/sqrt(a^2+b^2*t^2)+
  i*(-b^2*t^2/sqrt(a^2+b^2*t^2)+sqrt(a^2+b^2*t^2)),t);
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