 
 
 
On considère la fonction f de ℝ-{3} dans ℝ définie par :
| f(x)=(x+1)ln|x−3| | 
Réponses
 f(x):=(x+1)*ln(abs(x-3))
 f1:=function_diff(f):;
 f1(x)
 ln(abs(x-3))+(x+1)/(x-3)
 f2:=function_diff(f1):;
 f2(x)
 1/(x-3)+1/(x-3)+(x+1)*(-(1/((x-3)^2)))
 normal(f2(x))
 (x-7)/(x^2-6*x+9)
 factor(f2(x))
(x-7)/((x-3)^2)
Autre façon
On tape pour définir la fonction f :
 f(x):=(x+1)*ln(abs(x-3))
On tape pour calculer f′(x) :
 dfx:=diff(f(x)
On obtient :
 ln(abs(x-3))+(x+1)/(x-3)
Donc  f′(x)=ln(|x−3|)+x+1/x−3.
Et on tape pour définir la fonction f′ à partir de dfx:
 f1:=unapply(dfx,x);
On tape pour calculer f″(x) :
 ddfx:=diff(dfx)
On obtient :
 1/(x-3)+1/(x-3)+(x+1)*(-(1/((x-3)^2)))
ou pour avoir une écriture factorisée, on tape directement :
 ddfx:=factor(diff(dfx))
On obtient :
(x-7)/((x-3)^2)
Donc  f″(x)= x−7/(x−3)2
Et on tape pour définir la fonction f″ à partir de ddfx:
 f2:=unapply(ddfx,x);
Cette façon de faire à l’avantage de définir la fonction f2=f″ à 
partir d’une expression simplifiée ou factorisée.
Attention !!! On ne peut pas écrire par exemple :
g(x):=normal(diff(f(x))) pour définir la fonction g=f′ mais on doit 
écrire g:=unapply(normal(diff(f(x))),x) car sinon il y a confusion 
entre x variable de dérivation et x variable de la fonction g.
 limit(f1(x),x,-infinity)
 +infinity
 limit(f1(x),x,3,-1)
 -infinity
 assume(x<3);fsolve(f1(x),x)
 x,0.776592890991
 purge(x)
 f1(0.7)
 0.0937786881525
 f1(0.8)
 -0.0297244578175
 f1(7)
 ln(4)+2
 limit(f(x),x,-infinity)
 -infinity
 limit(f(x),x,+infinity)
 +infinity
 limit(f(x),x,3)
 -infinity
 plofunc(f(x),x);droite(x=1);droite(x=2)
 integrate(f(x),x,-1,2)
 8*ln(4)-12+15/4
 normal(8*ln(4)-12+15/4))
 8*ln(4)-33/4
 ibpu((x+1)*ln(abs(x-3)),ln(abs(x-3)))
 [((x^2)/2+x)*ln(abs(x-3)),(-x^2-2*x)/(2*x-6)]
 A:=ibpu([((x^2)/2+x)*ln(abs(x-3)),(-x^2-2*x)/(2*x-6)],0)
 (-x^2-10*x)/4-15*1/2*ln(abs(x-3))+((x^2)/2+x)*ln(abs(x-3))
 preval(A,-1,2)
 8*ln(4)-9/4-6)
 normal(8*ln(4)-9/4-6))
 8*ln(4)-33/4
On considère la fonction f de ℝ dans ℝ définie par :
| f(x)= | 
 | 
Réponses
 factor(x^4-2x^3+2x^2)
 (x^2+-2*x+2)*x^2
 canonical_form(x^2-2*x+2)
 (x-1)^2+1
 normal(derive((exp(x)^2-exp(x)+1)/(exp(x)^3+exp(x)),x))(-(exp(x))^4+2*(exp(x))^3-2*(exp(x))^2-1)/
((exp(x))^5+2*(exp(x))^3+exp(x))Le numérateur est négatif car il est égal à −P(exp(x)) et le 
dénominateur est strictement positif car il est égal à une somme de 
termes strictement positifs. La fonction f est donc décroissante.
Pour chercher la limite de f en +∞, on tape :
 limit((exp(x)^2-exp(x)+1)/(exp(x)^3+exp(x)),x=+infinity)
On obtient :
 0
Pour chercher la limite de f en −∞, on tape :
 limit((exp(x)^2-exp(x)+1)/(exp(x)^3+exp(x)),x=-infinity)
On obtient :
 infinity
Pour tracer le graphe de f, on tape :
 plotfunc(((exp(x))^2-exp(x)+1)/((exp(x))^3+exp(x)),x)
On obtient le graphe de f.
 f(x):=(exp(x)^2-exp(x)+1)/(exp(x)^3+exp(x))
 f(0)
| 
 | 
 df:=unapply(normal(diff(f(x),x)),x)
 df(0)
| − | 
 | 
equation(tangent(plotfunc(f(x)),0),[x,y])
 y=(1/-2*x+1/2)y=(1/-2*x+1/2)
 int(f(t),t,0,x)
 (ln((exp(x))^2+1)*exp(x)+(-(2*x))*exp(x)+2*exp(x)-2)*
 1/2/exp(x)-1/2*ln(2) limit((ln((exp(x))^2+1)*exp(x)+(-(2*x))*exp(x)+2*exp(x)-2)
*1/2/exp(x)-1/2*ln(2),x=+infinity)
 -1/2*ln(2)+1
| ∫ | 
 | 
 | dx | 
 int(1/(x^3+1),x,1,2)
 normal} 
 (sqrt(3)*ln(2)+pi)*1/3/sqrt(3)
 partfrac(1/(1+t^3))
 1/((t+1)*3)+(-1/3*t+2/3)/(t^2-t+1)
 partfrac(t^2/(1-t^4))
-1/2/(t^2+1)+1/(4*(t+1))-1/4/(t-1)
int(-1/2/(t^2+1)+1/(4*(t+1))-1/4/(t-1),t)
int(t^2/(1-t^4),t)
1/(-2*atan(t))+1/(4*ln(abs(t+1)))+1/(-4*ln(abs(t-1)))
 normal(int(sin(x)^2/cos(2*x),x))
-1/2*x-1/-4*ln(abs((tan(1/2*x))^2-2*tan(1/2*x)-1))-
1/4*ln(abs((tan(1/2*x))^2+2*tan(1/2*x)-1))
normal(int(tlin(sin(x)^2/cos(2*x))))
1/4*ln(abs(tan(x)+1))+1/-4*ln(abs(tan(x)-1))+1/-2*x
trigtan(texpand(sin(x)^2/cos(2x)))
(-((tan(x))^2))/((tan(x))^2-1)
subst('integrate(-tan(x)^2/(tan(x)^2-1),x)',x=atan(t))
subst(Int(-tan(x)^2/(tan(x)^2-1),x),x=atan(t))
integrate((-(t^2))/((1+t^2)*(t^2-1)),t)
1/-2*atan(tan(x))+1/4*ln(abs(tan(x)+1))+1/-4*ln(abs(tan(x)-1))
 int(1/t^2,t)
 1/(-t)
 int(1/(t*(t^2+1)),t)
 1/-2*ln(t^2+1)+1/2*ln((abs(t))^2)
 int((t^2-t+1)/(t^2+t^4),t)
1/2*ln(t^2+1)-ln(abs(t))+(-t+1)/(-t)
| sin(sinh(x))−sinh(sin(x)) | 
  series(sin(sinh(x))-sinh(sin(x)),x=0,7)
 1/-45*x^7+x^8*order_size(x)
| 
 | 
 series(ln(cos(x))/exp(x+x^2),x=0,4)
1/-2*x^2+1/2*x^3+1/6*x^4+x^5*order\_size(x)
| x(x2−1)y′+2y=0 | 
 desolve(x*(x^2-1)*y'+2*y=0,y)
(c\_0*x^2)/(x^2-1)
| x(x2−1)y′+2y=x2 | 
 desolve(x*(x^2-1)*y'+2*y=x^2,y)
((ln(abs(x))+c\_0)*x^2)/(x^2-1)
| 2a−1 | a | 2a−1 | 
| a2+a−2 | a2−1 | a−1 | 
| a2+a−1 | a2+a−1 | a | 
Réponse :
On tape :
 M:=[[2a-1,a,2a-1],[a^2+a-2,a^2-1,a-1],[a^2+a-1,a^2+a-1,a]] 
On calcule le déterminant de M, on tape :
 det(M)
On obtient :
2*a^4+-2*a^3+-2*a^2+2*aPour avoir l’inverse de M on tape :
 inv(M)
On obtient :
| 
 | ⎡ ⎢ ⎢ ⎣ | 
 | ⎤ ⎥ ⎥ ⎦ | 
On tape :
 solve(2a^4-2*a^3-2*a^2+2*a,a)
On obtient :
 [-1,0,1]
Donc la matrice est inversible si a ∉[−1,0,1]
Ou on tape :
 factor(2a^4-2*a^3-2*a^2+2*a)
On obtient :
2*(a+1)*a*(a-1)^2On tape :
 rank(subst(M,a,-1))
On obtient :
 2
On tape :
 rank(subst(M,a,0))
On obtient :
 2
On tape :
 rank(subst(M,a,1))
On obtient :
 1
On tape :
 inv(subst(M,a,2))
On obtient : A=1/12[
| 1 | 11 | −7 | 
| −3 | −9 | 9 | 
| 5 | −5 | 1 | 
]
Remarque : pour éviter de faire des substitutions on peut définir la matrice M comme une fonction de a, il faut alors écrire :
M(a):={[[2a-1,a,2a-1],[a^2+a-2,a^2-1,a-1],[a^2+a-1,a^2+a-1,a]]}
surtout ne pas oublier { et }.
On peut alors taper : inv(M(2)).
| 1 | 1 | a | 
| 1 | a | 1 | 
| a | 1 | 1 | 
Réponse :
On tape :
Pour avoir les valeurs propres de A on tape :
On obtient :
| 
 | 
ce qui s’écrit :
Si a ≠ 1 il y a 3 valeurs propres distinctes −a+1,a+2,a−1 et
 si a=1 il y a une valeur propre double (λ=0) et une valeur propre 
simple (λ=3).
Puis on cherche la matrice de passage, on tape :
On obtient :
| 
 | 
ce qui s’écrit :
les vecteurs propres sont les colonnes de cette matrice.
Ou on tape pour avoir directement les deux informations, matrice de passage et réduite de Jordan :
On obtient une liste de deux matrices [P,B] (P est la matrice de passage et B=P−1AP) :
| 
 | 
ce qui s’écrit :
On remarque qu’en faisant : a:=1 puis jordan(A) 
les valeurs propres doubles sont regroupées et on obtient :
| 
 | 
ce qui s’écrit :
A est donc diagonalisable quelque soit a et B=P−1AP.
 
 
