La géométrie plane (2-d)

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## 13 La géométrie plane (2-d)

Pour avoir une figure de géométrie plane, on utilise le menu `Geo`, puis `Nouvelle figure`, puis

- `graph, geo2d` ou le raccourci `Alt+g` si on veut travailler en coordonnées décimales,
- `geo2d exact` si on veut travailler en coordonnées exactes et pouvoir faire des démonstrations.

### 13.1 Que voit-on ?

On obtient un niveau contenant :

- en haut :
  - la barre de menu de ce niveau de géométrie :
    `Fig Edit Graphe`,
  - le nom du mode dans lequel on se trouve. Dans tout les modes on peut faire un zoom in ou out en tournant la molette de la souris (pour un zoom out on tourne la molette vers soi),
  - le bouton `Mode``▿` qui permet de choisir ce mode,
    - `Repere` pour faire bouger, l’origine du repère selon le déplacement de la souris. On peut aussi faire un zoom en choissisant la fenêtre du zoom : avec un click droit de la souris on determine un sommet de la fenêtre et on détermine la fenêtre en faisant bouger la souris en laissant le bouton droit appuyé.
    - `Pointeur` pour faire bouger, à la souris, les éléments de la figure
    - `point` pour dessiner, à la souris, un point,
    - `Lignes` pour dessiner, à la souris, un segment, un vecteur, une demi-droite, une droite, une parallèle, une perpendiculaire, une médiatrice, une médiane, une bissectrice,
    - `Polygones` pour dessiner, à la souris, un triangle ou un triangle équilatéral, un carré, un quadrilatère,
    - `Cercles` pour dessiner, à la souris, un cercle, un cercle inscrit, un cercle exinscrit, un cercle circonscrit,
    - `Courbes` pour dessiner, à la souris, une ellipse avec `ellipse`, une hyperbole avec `hyperbole` ou avoir le graphe des solutions d’une équation différentielle en mode interactif avec `plotode`,
    - `Surfaces (3d)` pour dessiner, à la souris, un plan, une sphère,
    - `Mesures` permet d’afficher des mesures en un point, ces mesures seront précédées d’une légende sauf si on a choisi une commande se terminant par `brut`. Attention ! pour pouvoir désigner à la souris un objet géométrique qui n’est pas un point, il faut que cet objet ait un nom.
    - `Intersection` pour avoir l’intersection ou les intersections de deux courbes. Attention ! pour pouvoir désigner à la souris un objet géométrique qui n’est pas un point, il faut que cet objet ait un nom.
    - `tangent` pour dessiner les tangentes à une courbe passant par un point.
  - un bouton qui permet de choisir une couleur et qui indique la couleur choisie et son numéro,
  - un bouton qui fait apparaitre l’écran de configuration des attributs pour les objets qui vont être crées. Cet écran permet de choisir les attributs de la représentation des points et des lignes et il indique les attributs choisis. Il faut savoir que l’on peut changer les attributs d’un point déjà crée (par exemple `A`) : il faut être en mode `point` ou en mode `Pointeur` (uniquement dans ces 2 modes) et cliquer sur le point `A` avec le bouton droit de la souris, pour faire apparaitre l’écran de configuration des attributs du point `A` : si on coche la rubrique `symb` figurant sur cet écran cela a pour effet de rajouter les deux lignes :
    `assume(Ax=[2.1,-5.0,5.0])`
    `assume(Ay=[1,-5.0,5.0])`
    et de définir automatiquement le point `A` avec les coordonnées symboliques `(Ax,Ay)`, si on coche la rubrique `untranslate` figurant sur cet écran cela a pour effet de ramener le point `A` à sa position initiale (i.e. sans avoir subit de translation).
  - une case `Step` à cocher si on veut que les niveaux de géométrie soient validés un à un en les validant avec `Enter` car dans un écran de géométrie, si `Step` n’est pas coché `Enter` valide la ligne et les lignes suivantes.
  - une case `Landscape` à cocher si on veut avoir un écran de géométrie plus grand : les lignes de commandes sont alors déplacées en dessous de l’écran.
  - une case ∼ à cocher (resp décocher) si on veut avoir des points à coordonnées décimales (resp exactes) en cliquant à la souris, voir aussi 13.3).
  - une ligne vide qui ne deviendra un bouton `Save dessin.cas` qu’après une sauvegarde du niveau de géométrie (cette sauvegarde est la sauvegarde des lignes de commandes qui sont à gauche de la figure et se fait par exemple sous le nom `dessin.cas`. On peut aussi réaliser cette sauvegarde avec `Fig` `▸``Sauver lignes de commande`) ce qui a aussi pour effet de sauver les commandes qui sont à gauche de la figure.
- au centre, une figure de géométrie plane interactive,
- à droite de cet écran :
  - la position de la souris,
  - des flèches sur fond de couleur pour déplacer le cadrage selon l’axe de même couleur (la couleur bleu sert en 2-d à faire un zoom selon Oy). À noter qu’en mode `Repere` on peut aussi faire bouger l’origine du repère selon le déplacement de la souris et que les boutons `in` et `out` font des zooms avant ou arrière,
  - des flèches sur fond gris pour retrouver les cadrages précédents,
  - un bouton ⊥ pour avoir un repère orthonormé selon les valeurs de `WX-` et `WX+`,,
  - des boutons `in` et `out` pour faire un zoom avant ou arrière,
  - un bouton `cfg` pour configurer ce graphique : enlever ou mettre un cadre autour du graphique (`Framebox`), enlever ou mettre les axes et modifier les paramètres de cadrage et de graduation des axes et choisir d’avoir les commandes et l’écran graphique l’un en dessous de l’autre ou côte à côte en cochant, ou pas, `Portrait`. Il faut bien comprendre `cfg` ne modifie que le cadrage et n’intervient pas dans les valeurs qu’il faut calculer. Par exemple, les graphes seront calculés en tenant compte de la configuration graphique définit par le menu `Cfg->Configuration graphique`, par exemple, si `X-` vaut -4 et `X+` vaut 5, la commande `plotfunc(sin(x))` affichera le graphe de sin(x) pour x=−4..5 dans une fenêtre de les dimensions calculées par `Xcas` (ici [−4.45,5.45]×[−1.1,1.1]). Vous pouvez changer les dimension de cette fenêtre avec le bouton `cfg`, mais le graphe ne sera tracé que pour x=−4..5. Par contre `plotfunc(sin(x),x=-6..6)` affichera le graphe pour x=−6..6 dans une fenêtre de dimensions calculées par `Xcas` (ici [−6.6,6.6]×[−1.1,1.1]).
  - un bouton `M` avec les sous-menus :
    - `Voir` (dont les items sont identiques aux boutons situés sur ce bloc de boutons (`Autoscale` c’est le bouton `auto`...`Config` c’est le bouton `cfg`),
    - `Trace` donne le menu concernant la trace d’un objet. Cela permet de dessiner et aussi d’effacer la trace d’un objet lorsqu’on fait bouger un paramètre ou un point,
    - `Animation` donne le menu permettant de créer automatiquement l’animation d’une figure dépendant d’un paramètre : il faut le plus souvent choisir `Enlever le graphe` puis `Creer animation` pour éviter une superposition du graphe avec l’animation (voir aussi les commandes `animation` et `animate` ou `animate3d`). Il faut choisir `Ne pas animer` puis `Remettre le graphe` pour terminer l’animation,
    - `3-d` utile uniquement pour la géométrie 3-d
    - `Exporter/Imprimer` pour réaliser facilement l’insertion du graphique dans un texte LATEXou autre,
  - un bouton ▸|| permettant de faire une pause lors d’une animation graphique,
  - un bouton `auto` pour régler automatiquement la fenêtre graphique.
- à gauche de cet écran, une ligne de commandes de numéro 1 qui se remplira automatiquement lorsque l’on clique dans l’écran graphique pour créer un point en `Mode``▿``point` (ou un autre objet géométrique choisi avec le bouton `Mode``▿`). On peut aussi remplir cette ligne de commandes en tapant une commande graphique ou non. Chaque fois qu’une commande a été executée, une nouvelle ligne est créée. Lorsqu’on modifie une ligne de commandes, toutes les lignes qui suivent sont recalculées (ceci permet à la figure d’être interactive).
  Il n’y a pas de commande d’effacement de la figure, en effet, soit on modifie les commandes d’entrée, soit on fait un nouveau graphique en ouvrant un écran de géométrie sur un autre niveau.

### 13.2 Comment régler le graphique

Il n’y a pas de commande d’effacement de la figure, en effet, soit on modifie les commandes d’entrée, soit on fait un nouveau graphique en ouvrant une figure de géométrie sur un autre niveau.

On peut augmenter ou diminuer la taille de la figure en cliquant sur l’une des lignes de séparation verticales pour modifier l’unité des `x` et sur la barre horizontale inférieure pour modifier l’unité des `y` : en s’approchant d’une ligne de séparation le curseur prend la forme : ↕ et il suffit alors de cliquer sans relacher pour déplacer la ligne de séparation.

On peut régler la configuration graphique par défaut grâce au menu :
`Cfg``▸``Configuration graphique`.
Cela affectera alors tous les graphiques créés ultérieurement ainsi que les calculs graphiques ultérieurs (graphes de fonctions par exemple) mais pas les graphiques déjà créés. On peut aussi modifier la configuration graphique d’un niveau grâce au bouton `cfg` situé à droite de cet écran mais cela n’affectera que le cadrage et non les valeurs qu’il faut calculer.

### 13.3 Comment définir des objets géométriques

Il y a deux façons d’obtenir la plupart des objets géométriques :

- avec la souris : il faut choisir à l’aide du bouton `Mode``▿` l’objet géométrique à construire. Par exemple, il faut être en mode `triangle` pour tracer un triangle ou être en mode `point` pour tracer un point etc....puis il faut cliquer pour définir l’objet géométrique désiré. Les commandes correspondantes s’inscrivent alors automatiquement dans les lignes de commandes,
- avec des commandes : on utilise les commandes du menu `Geo` de la session.
  Pour définir facilement un paramètre vous pouvez utiliser la boite de dialogue qui s’ouvre avec `Edit` `▸``Ajouter parametre` d’un niveau de géométrie et qui écrira, par exemple, `assume(a=[0,-5,5])` dans une ligne de commande de ce niveau de géométrie.

Pour corriger une erreur, il suffit de supprimer ou de modifier la ligne de commandes erronée.

Notez que si on a coché la case ∼, tous les points auront des coordonnées décimales alors que si la case ∼ n’a pas été cochée les points auront des coordonnées rationnelles (i.e exactes).
Par exemple, on clique dans l’écran graphique en mode `point` :

- si on a coché ∼, on obtient quelque chose comme :
  `A:=point(1.494,1.538,’affichage’=0)`
- si on n’avait pas coché ∼, on aurait obtenu :
  `A:=point(3/2,3/2,’affichage’=0)`

cela permet :

- si on n’a pas coché ∼ de définir des points à coordonnées entières ou rationnelles, très facilement avec un click de souris,
- si on a coché ∼ de déplacer les objets plus rapidement.

Pour changer les attributs q’un point voir aussi ??

Remarque: cas des figures multiples
Lorsqu’on clique à la souris, les objets sont nommés automatiquement en commençant par la lettre A. Le nom choisi automatiquement est partagé par toutes les figures d’un “tab”. On peut ainsi créer plusieurs figures dont les noms ne s’écrasent pas les uns les autres. Pour recopier des objets géométriques d’une figure vers une autre, on tape dans un niveau l’instruction `eval([],1)` où on met entre les crochets les noms des objets géométriques à recopier, par exemple `eval([A,B],1)` recopie les objets A et B. Si on modifie une des figures, il faut réévaluer la ligne correspondante dans l’autre figure pour que les changements soit pris en compte.

### 13.4 Comment déplacer des objets géométriques

Pour déplacer une figure il faut être en mode `Pointeur`. Lorsqu’on s’approche d’un objet géomtrique, le curseur change de forme quand on est sur cet objet : il devient une petite flèche rouge ⇐. On clique alors sur l’objet à déplacer puis sans relacher le bouton de la souris, on déplace l’objet en bougeant la souris. Pour annuler un déplacement, il suffit de relacher la souris en-dehors de la figure. Il faut savoir que le déplacement est plus rapide si on a coché la case ∼.

### 13.5 La couleur

La couleur des prochains objets créés se choisit en cliquant sur le bouton des attributs ou sur le bouton couleur qui permet de choisir parmi la palette des couleurs. Les couleurs de la palette sont numerotées de 0 à 255 et les couleurs de l’arc en ciel sont numerotées de 256 à 381. Pour voir les couleurs de l’arc en ciel il suffit d’exécuter le programme suivant :

    ciel():={
    local j,C;
    C:=[];
    for (j:=256;j<382;j++){
    C:=append(C,carre(j,j+1,couleur=j+rempli));
    }
    C;
    }

Pour voir l’arc en ciel, on tape `ciel()` et le numéro d’une couleur est alors égal à son abscisse et pour voir la couleur de numéro 300, on tape `ciel()[300-256]`.

On peut aussi choisir la couleur d’un objet particulier en mettant dans sa définition un paramètre supplémentaire qui sera par exemple `affichage=rouge` ou `affichage=1`.

### 13.6 Les attributs des lignes et des points

Les attributs des lignes et des points sont utilisés pour tracer des lignes epaisses ou fines, des lignes en trait continu ou en pointillé de diverses sortes, pour tracer des points avec des croix, des carrés...de mettre les noms dans l’un des 4 cadrans, de tracer des figures pleines etc...Tous ces choix se font avec le bouton qui indique les attributs choisis. Pour cela on clique sur ce bouton ce qui ouvre l’écran de configuration des attributs qui permet de faire différents choix qui seront valider par `OK`.

On peut aussi choisir les attributs d’un objet particulier en mettant dans sa définition un paramètre supplémentaire qui sera, par exemple, pour un point :
`point(1,2,affichage=rouge+point_losange)`.

On peut aussi modifier les attributs des lignes et des points déjà tracés, pour cela il faut être en mode `point` ou `Pointeur` et cliquer avec le bouton droit de la souris sur l’objet (on peut aussi double cliquer avec le bouton gauche de la souris sur l’objet). Cela ouvre l’écran de configuration des attributs où figure le nom de l’objet et ainsi les différents choix validés par `OK` ne s eront faits que pour cet objet.

On peut enfin plaquer une image dans un rectangle parallèle aux axes en ajoutant l’option `gl_texture=` suivi par le nom d’un fichier image, par exemple :

`rectangle(0,1,2,gl_texture="image.png"`

### 13.7 Pour donner à un point des coordonnées symboliques

`Xcas` permet de faire des démonstrations de géométrie analytique : pour cela il faut pouvoir à la fois faire les calculs nécessaires avec des points à coordonnées symboliques et faire une figure en donnant une valeur à ces coordonnées symboliques.

- Première méthode : on crée des curseurs symboliques (un par paramètre) à l’aide du menu `Edit->Ajouter parametre` de la figure ou du menu `Geo` de la barre de menu principal. Par exemple, on crée deux curseurs symboliques `a` et `b` en donnant comme valeurs initiales 2.1 et 2.5. `A:=point(a+i*b)` : la figure se fera avec `A:=point(2.1+i*3.5)` mais les calculs se feront en fonction des paramètres formels `a` et `b` avec `A:=point(a+i*b)`.
- Deuxième méthode : on suppose que l’on a défini, par exemple, `A:=point(2.1+i*3.5)`. Puis, si on est en mode `point` ou en mode `Pointeur` et uniquement dans ces 2 modes, à l’aide du bouton droit de la souris on fait apparaitre l’écran de configuration des attributs du point `A` où figure la rubrique `symb`. On coche `symb` avec la souris et cela a pour effet de définir automatiquement le point avec les coordonnées symboliques `(Ax,Ay)`.
  Attention la rubrique `symb` n’apparait que dans l’écran de configuration des attributs d’un point non symbolique : autrement dit si on a défini un point avec des coordonnées symboliques, il faut modifier directement les lignes de commandes pour revenir à un point à coordonnées non symboliques.

On remarque que `Xcas` génère des commandes `assume` sur les paramètres formels utilisés. Lorsqu’un calcul exact est effectué, les valeurs formelles des paramètres sont utilisés, lorsqu’un calcul approché est effectué, les paramètres formels sont remplacés par leur valeur numérique.

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