Les complexes

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# Chapitre 23 Les complexes

## 23.1 Module et argument

### 23.1.1 L’énoncé

Soit z1=√2+i√6 et z2=2+2i.
On pose Z=z1/z2.
Calculer le module et l’argument de z1,z2,Z.
En déduire cos(π/12) et sin(π/12).
Calculer Z2009

### 23.1.2 La correction avec `Xcas`

On tape :
`z1:=sqrt(2)+i*sqrt(6)`
`z2:=2+2*i`
`Z:=z1/z2`
On tape pour avoir les modules :
`simplify(abs(z1,z2,Z))`
On obtient : `2*sqrt(2),2*sqrt(2),1`
On tape pour avoir les arguments :
`simplify(arg(z1,z2,Z)`
On obtient : `[pi/3,pi/4,pi/12]`
On tape :
`simplify(re(Z),im(Z))`
On obtient : `(sqrt(2)+sqrt(6))/4,(-sqrt(2)+sqrt(6))/4`
Donc

cos( |
π
12
| )= |
√ |
2
| + | √ |
6
4

sin( |
π
12
| )= |
− | √ |
2
| + | √ |
6
4

Puisque Z a comme module 1 et comme argument π/12,, on sait que le module de P=Z2009 est 1 et que son argument vaut 2009π/12.
On tape :
`iquorem(2009,24)`
On obtient : `[83,17]` i.e. 2009=24*83+17.
Donc puisque 2009π/12=83*2π+17π/12, l’argument de P est :
17π/12 mod2π ou encore pour être dans ]−π;π], l’argument de P est :
−7π/12=−π/2−π/12.
Pour avoir la partie réelle et la partie imaginaire de P on calcule :
cos(−π/2−π/12)=−sin(π/12)= √2−√6/4 et
sin(−π/2−π/12)=−cos(π/12)=−√2+√6/4
Ou on tape :
`P:=simplify(Z```^```2009)`
On obtient : `(sqrt(2)+(-i)*sqrt(6))/(2+2*i)`
On tape :
`simplify(re(P),im(P))`
On obtient : `(sqrt(2)-sqrt(6))/4,(-sqrt(2)-sqrt(6))/4`
On tape :
`simplify(abs(P),arg(P))`
On obtient : `1,(-7*pi)/12`

## 23.2 Une transformation

### 23.2.1 L’énoncé

Soit f(z)=1/2(z+1/z).
On note M le point d’affixe z et N le point d’affixe Z=f(z).
On note A le point d’affixe −1 et B le point d’affixe 1.

- Calculer f(−i) et résoudre l’équation f(z)=2.
- Résoudre l’équation f(z)=z
- Calculer pour Z ≠ 1, Z+1/Z−1 et en déduire que si N≠ B:

  NA
  NB
  | = |
  MA2
  MB2

  .
- Trouver le lieu de N lorsque M se déplace sur la médiatrice du segment AB.
- Trouver le lieu de N lorsque M se déplace sur le cercle de diamètre AB.

### 23.2.2 La correction avec `Xcas`

On coche `Complexe` dans la configuration du CAS et si on coche `Variables_complexes` on est obligé de mettre `assume Y,real)` si on veut que la variable `Y` soit réelle.
Dans ce qui suit on suppose que l’on a coché `Variables_complexes` (si ce n’est pas le cas on peut enlever toutes les commandes `assume`).
On tape :
`f(z):=1/2*(z+1/z)`

- Calcul de f(−i) et résolution de l’équation f(z)=2. On tape :
  `f(-i)`
  On obtient : `0`
  On tape :
  `csolve(f(z)=2,z)`
  On obtient : `[-sqrt(3)+2,sqrt(3)+2]`
  donc le point d’affixe 2 a deux antécédents : les points d’affixe −√3+2 et √3+2
- Réslution de l’équation f(z)=z On tape :
  `csolve(f(z)=z,z)`
  On obtient : `[-1,1]`
  donc les points doubles de f sont les points A et B.
- Calcul pour Z!=1 de Z+1/Z−1 On tape :
  `factor((f(z)+1)/(f(z)-1))`
  On obtient : `((z+1)```^```2)/((z-1)```^```2)`
  donc NA/NB=(MA/MB)2
- Lorsque M se déplace sur la médiatrice du segment AB on a MA=MB ou encore |z+1|=|z−1|.
  Donc d’aprés ce qui précéde on a |Z+1|/|Z−1|=1 donc N se déplace sur la médiatrice du segment AB.
  Réciproquement, si |Z+1|=|Z−1| on en déduit que |z+1|2=|z−1|2 donc que M se déplace sur la médiatrice du segment AB.
  On tape puisque la médiatrice de AB est l’axe des y :
  `assume(y,real)`
  `simplify(f(i*y))`
  On obtient : `((i)*y```^```2-i)/(2*y)`
  On tape :
  `re(f(i*y))`
  On obtient : `0`
  On tape :
  `re(f(i*y))`
  On obtient : `0`
  Pour la réciproque , on tape :
  `assume(Y,real)`
  `sol:=simplify(csolve(f(z)=i*Y,z))`
  On obtient : `[(i)*Y+sqrt(-Y```^```2-1),(i)*Y-sqrt(-Y```^```2-1)]`
  On tape :
  `real(sol)`
  On obtient : `[0,0]`
  On tape :
  `simplify(im(sol))`
  On obtient : `[Y+sqrt(Y```^```2+1),Y-sqrt(Y```^```2+1)]`
- M se déplace sur le cercle de diamètre AB qui est aussi le cercle de centre O et de rayon 1. Donc z=eit avec 0≤ t≤ 2*π.
  Donc d’aprés ce qui précéde on a :
  Z+1/Z−1=(z+1/z−1)2 donc `arg((Z+1)/(Z-1))=2*arg((z+1)/(z-1))`.
  On a `arg((z+1)/(z-1))=arg(z+1)-arg(z-1)` et cela est la mesure de l’angle (MB,MA) qui vaut +/−π/2 car M se déplace sur le cercle de diamètre AB. Donc `arg((Z+1)/(Z-1))=pi` et N se déplace sur la droite AB. On sait d’après la question 1 que le point d’affixe 2 ne fait pas partie du lieu, donc on fait une réciproque. Pour cela on résout f(z)=X i.e. z2−2Xz+1=0 le discriminant vaut X2−1 donc si X<1 ou si X>−1 les solutions sont réelles et l’anrécédent de N ne se trouve pas sur le cercle de diamètre AB. Si −1≤ X ≤ 1 les solutions sont : z=X+i√1−X2 et z=X−i√1−X2 qui sont les affixes de 2 points du cercle de centre O et de rayon 1 (|z|2=X2+(1−X2)=1). On tape avec `Xcas` :
  `assume(t,real)`
  `simplify(exp2trig(f(exp(i*t))))`
  On obtient : `cos(t)`
  donc N se déplace sur le segment AB on a Z=cos(t) avec 0≤ t≤ 2*π.
  Pour la réciproque, N se déplace sur le segment AB donc Z=cos(t) avec 0≤ t≤ 2*π.
  On tape :
  `sol:=csolve(f(z)=cos(t),z)`
  On obtient : `[sqrt(cos(t)```^```2-1)+cos(t),-sqrt(cos(t)```^```2-1)+cos(t)]`
  On tape :
  `simplify(trig2exp(sol))`
  On obtient : `[exp((i)*t),1/(exp((i)*t))]` Donc M se trouve sur le cercle de centre O et de rayon 1.

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