Les coefficients binomiaux : comb nCr

### 6.8.2 Les coefficients binomiaux : comb nCr

comb (ou nCr) a comme paramètre deux entiers positifs n et k.
comb(n,k) ou nCr(n,k) calcule Cnk.
On a :

Cnk= |
n!
k!(n−k)!
| = |
n(n−1)...(n−k+1)
k!

On tape :

comb(5,2)

On obtient :

10

Remarque 1
Si n est un entier positif et k un entier négatif alors :
comb(n,k)=nCr(n,k)=0.
Par exemple comb(5,-2)=nCr(5,-2)=0.
Mais, on peut définir comb (ou nCr) avec comme paramètres n entier négatif et k entier positif par :
comb(n,k)= n(n−1)...(n−k+1)/k!
On tape :

comb(-5,2)

On obtient :

15

En effet −5*−6/2=15
On tape :

comb(-5,3)

On obtient :

-35

En effet −5*−6*−7/6=−35
Remarque 2 : Relation avec la fonction Γ
On a :
comb(n,p)=Gamma(1+n)/(Gamma(1+p)*Gamma(1+n-p))
Quand n est un entier négatif Gamma(1+n) est infini et on a :
comb(n,p)=limit(Gamma(1+x)/(Gamma(1+p)*Gamma(1+x-p)),x,n).
Par exemple, on tape :
comb(-5,3),limit(Gamma(1+x)/(Gamma(1+3)*Gamma(1+x-3)),x,-5)
On obtient :
(-35,-35)