Des exemples

### 8.5.6 Des exemples

Voici quelques exercices :

1. Exercice
   Pour tester l’efficacité d’un vaccin antigrippal on soumet 300 personnes à une expérience :
   - sur 100 personnes non vaccinées, 32 sont atteintes par la grippe,
   - sur 200 personnes vaccinées, 50 sont atteintes par la grippe,
   Ce résultat permet-il d’apprécier l’efficacité du vaccin ?
   On calcule les valeurs f1 et f2 qui sont les proportions des grippés des deux échantillons on tape :
   f1:=32/100
   f2:=50/200
   On tape :
   f1-f2
   On obtient :
   7/100
   Donc |f1−f2|=0.07
   On calcule la valeur p proportion des grippés lorsqu’on reunit les deux échantillons on tape :
   p:=82/300
   On obtient :
   41/150
   Donc p≃ 0.273333333333
   On calcule s12, on tape :
   s12:=sqrt(p*(1-p)*(1/100+1/200))
   On obtient :
   sqrt(4469/1500000)
   Donc s12 ≃ 0.0545832697201
   On tape :
   normalt([32,100],[50,200],0.0545832697201,’!=’,0.05)
   On obtient :
   0
   et en vert le resumé du test :
   Moyenne estimee en utilisant le(s) echantillon(s) 125
   *** TEST RESULT 0 ***
   Summary Z-Test null hypothesis mu1=mu2, alt. hyp. mu1!=mu2. Test returns 0 if probability to observe data is less than 0.05 (null hyp. mu1=mu2 rejected with less than alpha probability error) Test returns 1 otherwise (can not reject null hypothesis) Data mean mu1=32, population mean mu2=125 alpha level 0.05, multiplier*stddev/sqrt(sample size)= 1.95996*0.0545833/10 1.95996*0.0545833/10 renvoie 0.0106981084668
   On tape :
   a:=normal_icdf(0,sqrt(4469/1500000),0.975)
   On obtient :
   0.10698124281
   Puisque |f1-f2|=0.07<a=0.10698124281, on en déduit que les deux échantillons ne sont pas significativement différents au seuil de 5% : on peut donc dire que le vaccin n’est pas efficace mais ce n’est pas une certitude...
   La statistique D2=∑j=1k(nj−ej)2/ej est une bonne mesure de l’écart entre les effectifs observés et les effectifs théoriques : plus D2 est proche de zéro, plus la distribution de l’échantillon est conforme à la distribution théorique.
   On calcule la valeur d2 de D2 on tape :
   d2:=300*(150*32-68*50)`^`2/(100*200*82*218)
   On obtient :
   7350/4469
   donc d2 ≃ 1.645
   On cherche la valeur h qui vérifie :
   Proba(χ12>h)=0.05 ou encore Proba(χ12 ≤ h)=0.95
   pour cela on tape :
   chisquare_icdf(1,0.95)
   On obtient :
   3.84145882069
   donc h ≃ 3.84
   Puisque d2≃ 1.645<3.84 on en déduit que les deux échantillons ne sont pas significativement différents au seuil de 5% : on peut donc mettre en doute l’efficacité du vaccin.
2. Exercice
   Sur un registre d’état civil, on a relevé 552 naissances dont 289 garçons.
   a/ Estimer la fréquence p de naissance d’un garçon.
   b/ Donner un intervalle de confiance pour cette estimation.
   On tape :
   evalf(289/552)
   On obtient f sui est une estimation de p :
   0.523 Soit X la variable aléatoire égale à 1 pour la naissance d’un garçon et égale à 0 pour la naissance d’une fille. Soient X1...X552 les variables X correspondant aux 552 naissances et soit Y la variable aléatoire égale à ∑Xi/n = moyenne du nombre de garçons obtenus pour un échantillon d’effectif 552.
   La distribution Y est voisine d’une distribution normale de moyenne pest et d’écart type σ=√pest(1−pest)/552.
   On a donc Proba(|Y−pest|<1.96σ)=0.95.
   On peut estimer σ par : √f*(1−f)/551=√289*(552−289)/5522/551≃ 0.0213.
   Donc k=1.96*0.0213 <0.042 ce qui donne un intervalle de confiance de p au seuil de 5% égal à :
   [0.523−0.042=0.481 ; 0.523+0.042=0.565]
3. Exercice
   Dans un hôpital sur un échantillon de 458 malades admis pendant un trimestre il y a eu 141 décès. Estimer le pourcentage de décès par un intervalle de confiance au seuil de 0.01.
   On a :
   n=458,
   f=141/458 ≃ 0.307860262009,
   σ ≃ √f(1−f)/457=0.0215931304967
   normal_icdf(0,1,0.995)=2.57582930355 ≃ 2,58
   On obtient, si Y est la variable aléatoire moyenne du nombre de décès pour des échantillons de taille 458 :
   P(|Y−p|≥ k)=0.01 pour k=0.258*σ ≃ 0.056 donc un intervalle de confiance du pourcentage de décès, au seuil de 0.01 égal à : [0.252; 0.364]
   On tape :
   normal_icdf(141/458,0.0215931304967,0.005)
   On obtient :
   0.25224004372 On tape :
   normal_icdf(141/458,0.0215931304967,0.995)
   On obtient :
   0.363480480297 ce qui donne [0.252 ; 0.364], comme intervalle de confiance de p au seuil de 5%.
4. Exercice : comparaison de deux moyennes
   Pour une même épreuve, voici les notes obtenues dans une classe de terminale du lycée A.
   6,10,14,17,9,6,4,12,9,10,10,11,12,18,10,9,11,8,7,10.
   et les notes obtenues dans une classe de terminale du lycée B.
   2,10,14,13,9,6,1,12,9,10,10,10,12,15,19,9,11,8,9,10
   1/ Analyser les résultats de chaque groupe.
   2/ Peut-on considérer que les 2 groupes sont issus d’une même population ? Réponse :
   On tape :
   mean([6,10,14,17,9,6,4,12,9,10,10,11,12,18,10, 9,11,8,7,10])
   On obtient :
   [10.15]
   On tape :
   stddev([6,10,14,17,9,6,4,12,9,10,10,11,12,18,10, 9,11,8,7,10])
   On obtient :
   sqrt(4451/400) ≃ [3.33579076082]
   Le lycée A a une moyenne de 10.15 et un écart type d’environ 3.34.
   On tape :
   mean([2,10,14,13,9,6,1,12,9,10,10,10,12,15,19, 9,11,8,9,10])
   On obtient :
   9.95
   On tape :
   stddev([2,10,14,13,9,6,1,12,9,10,10,10,12,15,19, 9,11,8,9,10])
   On obtient :
   sqrt(6179/400) ≃ 3.93033077488
   Le lycée B a une moyenne de 9.95 et un écart type d’environ 3.93.
   On a pour le lycée A : On tape :
   quartiles([6,10,14,17,9,6,4,12,9,10,10,11,12,18,10, 9,11,8,7,10])
   On obtient :
   [[4.0],[8.0],[10.0],[11.0],[18.0]]
   On a pour le lycée B : On tape :
   quartiles([2,10,14,13,9,6,1,12,9,10,10,10,12,15,19, 9,11,8,9,10])
   On obtient :
   [[1.0],[9.0],[10.0],[12.0],[19.0]]
   On voit que dans le lycée B la moitie des élèves ont entre 9 et 12 alors que dans le lycée A la moitie des élèves ont entre 8 et 11. Donc bien que la moyenne du lycée B soit inférieure à la moyenne du lycée A il semble que la classe du lycée B soit meilleure que celle du lycée A. 2/ Si on considère que les deux classes constituent deux échantillons pris au hasard dans une population où la note de l’épreuve est une variable aléatoire X de moyenne µ et d’écart-type σ.
   La reunion des 2 échantillons donne un échantillon de taille n=40.
   de moyenne µ ≃ (9.95+10.15)/2=10.05 et d’écart-type s.
   On tape :
   stddev([6,10,14,17,9,6,4,12,9,10,10,11,12,18,10,9,
   11,8,7,10, 2,10,14,13,9,6,1,12,9,10,10,10,12,15,19,
   9,11,8,9,10])
   On obtient :
   s=sqrt(5319/400) ≃ 3.64657373434.
   La variable aléatoire X40, égale à la moyenne des échantillons de taille 40 a donc pour moyenne :
   µ=10.05 et pour écart-type :
   σ/√40≃ s/√39=0.583919119794.
   Donc σ ≃ 3.69302877574
   Remarque : On sait que la statistique displaystyle n1S12+n2S22/n1+n2−2 est un estimateur sans biais de σ2 si σ est l’écart-type de X. La valeur de cette statistique est obtenue à partir de deux échantillons de taille respective n1 et n2 et d’écart-type respectif s1 et s2 qui sont les valeurs de S1 et de S2 (avec comme notation S2=1/n∑j (Xj−X)2 pour un échantillon de taille n de la variable X).
   On tape (ici n1=n2=20, n1+n2−2=38, s12=4451/400, s22=6179/400) :
   sqrt(20/38*(6179/400+4451/400))
   On obtient alors comme approximation de σ : 3.7398986758
   On pose comme hypothèse H0 : µ1=µ2=µ et pour hypothèse alternative H1 : µ1 ≠ µ2 et on teste ces hypothèses au seuil de 0.05.
   Ā−B suit une loi normale de moyenne 0 et d’écart type σ√1/20+1/20.
   On a :
   σ=s√40/39
   s=√5319/400
   σ√1/20+1/20 ≃ s√40/39/10≃ √5319/100/39≃ 1.16783823959
   Avec Xcas, on tape :
   normal_icdf(0,1.16783823959,0.975)
   On obtient :
   2.28892088937
   normal_icdf(0,1.16783823959,0.025)
   On obtient :
   -2.28892088937
   On a m1−m2=10.15−9.95=0.2 et comme
   −2.28892088937<0.2< 2.28892088937,
   on accepte l’hypothèse µ1=µ2 au seuil de 5%.
   Autre méthode
   On peut aussi utiliser la loi de Student :
   On considére que µ1=µ2=µ.
   Alors T=(Ā− B)√38/√(20s12+20s22)(1/20+1/20) suit une loi de Student à 38 degrés de liberté.
   On calcule la valeur t de T pour l’échantillon on tape :
   t:=(10.15-9.95)*sqrt(38)/sqrt(2*3.34`^`2+3.93`^`2)
   On obtient : 0.200644948434 On tape :
   student_icdf(38,0.975)
   On obtient : 2.02439416391
   Puisque −2.02439416391<0.2<2.02439416391, on accepte l’hypothèse µ1=µ2=µ au seuil de 5%.
5. Exercice : comparaison de deux moyennes
   Deux entreprises A et B livrent des pièces dans des paquets de 100 pièces. On note X1 (resp X2) la variable aléatoire égale au nombre de pièces défectueuses par paquet provenant de A (resp B).
   On note X1 (resp X2) la variable aléatoire égale au nombre moyen de pièces défectueuses par paquet pour des échantillons aléatoires de 49 paquets (resp 64 paquets) provenant de A (resp B).
   I) Sur un échantillon de 49 paquets provenant de A on compte le nombre de pièces défectueuses dans chaque paquet et on trouve :
   7, 5, 5, 4, 4, 4, 9, 7, 9, 2, 7, 8, 7, 8, 4, 4, 9, 10,
   5, 10, 6, 4, 5, 6, 1, 2, 5, 7, 8, 0, 6, 0, 1, 5, 2, 0,
   5, 2, 3, 3, 4, 1, 3, 10, 1, 0, 10, 2, 7
   1/ Calculer la moyenne m1 et l’écart-type s1 de cet échantillon.
   2/ Donner une estimation de la moyenne µ1 et de l’écart-type σ1 de X1.
   3/ Donner une estimation de la moyenne et de l’écart-type de X1.
   Réponse :
   1/ On met les données dans la colonne A du tableur ou on donne un nom à la liste du nombre de pièces défectueuses dans chaque paquet.
   - Dans le tableur on tape les données dans les cellules A0..A48, puis en A49, on tape :
   mean((A0):(A48))
   On obtient :
   237/49 ≃ 4.83673469388
   en A50 on tape :
   stddev((A0):(A48))
   On obtient :
   sqrt(21006/2401 ≃ 2.9578462847.
   - Dans une ligne d’entrée, on tape :
   L:=[7,5,5,4,4,4,9,7,9,2,7,8,7,8,4,4,9,10,
   5,10,6,4,5,6,1,2,5,7,8,0,6,0,1,5,2,0,
   5,2,3,3,4,1,3,10,1,0,10,2,7]
   puis on tape : mean(L)
   On obtient m1 :
   237/49 ≃ 4.83673469388 ≃ 4.84.
   puis on tape : stddev(A)
   On obtient s1:
   sqrt(21006/2401) ≃ 2.9578462847.
   2/ On a un échantillon de grande taille (n1=49) donc d’après la loi des grands nombres, on estime µ1 par m1= 237/49 ≃ 4.84 et σ1 par :
   s1√n1/n1−1=√21006/2401√49/48≃ 2.98849836021≃ 2.99.
   Donc X1 suit à peu près une loi normale de moyenne m1=4.84 et d’écart-type σ1=2.99.
   3/ La variable aléatoire X1 égale à la moyenne des échantillons de taille 49 suit à peu près une loi normale de moyenne µ1=4.84 et d’écart-type σ1/√49 ≃ s1/√48≃ 0.426928337173≃ 0.427.
   II) Sur un échantillon de 64 paquets provenant de l’entreprise B on trouve une moyenne m2=3.88 et un écart-type s2=1.45:
   1/ Donner une estimation de la moyenne µ2 et de l’écart-type σ2 de X2.
   2/ Donner une estimation de la moyenne et de l’écart-type de X2.
   Réponse :
   1/ On a un échantillon de grande taille (n2=64) donc d’après la loi des grands nombres, on estime µ2 par m2=3.88 et σ2 par :
   s2√n2/n2−1=1.45√64/63≃ 1.46146262897≃ 1.46
   On a donc X2 suit une loi de moyenne m2=3.88 et d’écart-type σ1=1.46.
   2/ La variable aléatoire X2 égale à la moyenne des échantillons de taille n2=64 suit à peu près une loi normale de moyenne µ2=3.88 et d’écart-type σ2/√64 ≃ s2/√63≃ 0.182682828621≃ 0.183
   III) On note D la variable aléatoire X1−X2.
   1/ Quelle est la loi de probabilité de D ? Déterminer la moyenne et l’écart-type de D.
   2/ On pose pour hypothèse nulle H0 : µ1=µ2 et pour hypothèse alternative H1 : µ1 ≠ µ2. Calculer sous H0, les nombres h et k tels que :
   Proba(−h<D<h)=0.99 et Proba(−k<D<k)=0.95.
   3/ Peut-on conclure après examen des échantillons donnés en I et II que la différence des moyennes observées est significative au seuil de risque de 1% ? au seuil de risque de 5% ?
   Réponse :
   1/ D suit à peu près une loi normale de moyenne :
   µ1−µ2 ≃ 4.84−3.88=0.96
   et d’écart-type :
   √σ12/49+σ22/64 ≃ √s12/48+s22/63=
   √21006/(2401*48)+1.452/63 ≃ 0.453082418658≃ 0.46
   car la variance de D est la somme des variances de X1 et de X2.
   2/ Sous l’hypothèse H0, D suit à peu près une loi normale de moyenne 0 et d’écart-type σ(D)=0.46.
   h et k sont tels que :
   Proba(−h<D<h)=0.99 et Proba(−k<D<k)=0.95.
   Donc d’après les tables de la loi normale on a :
   h=2.58* σD=2.58*0.46=1.1868≃ 1.19 et
   k=1.96* σD=1.96*0.46=0.9016≃ 0.9.
   Ou bien avec Xcas on a :
   h:=normal_icdf(0,0.46,0.995)=1.18488147963
   k:=normal_icdf(0,0.46,0.975)=0.901583432888
   3/ Puisque la valeur de D pour l’échantillon est égale à 0.96, on conclut qu’au seuil de 5% on rejette l’hypothèse H0 (car 0.96>k) mais par contre, au seuil de 1% on accepte l’hypothèse H0 (car 0.96<h).
   Bien comprendre :
   Au seuil de 5%, on rejette H0 et on se trompe dans moins de 5% des cas, c’est à dire que l’on rejette H0 à tort dans moins de 5% des cas, mais si on ne veut se tromper que dans 1% des cas, on ne peut pas rejeter H0 et donc on l’accepte...
   En fait, on peut dire que l’on rejette H0 au seuil de 4% (i.e. on risque de se tromper en rejettant H0 dans 4% des cas), car :
   0.96>normal_icdf(0,0.46,0.98)=0.944724498891 ou encore
   normal_cdf(0,0.46,0.96)=0.981553967548>0.98
6. Exercice
   On a administré un somnifère A à 50 personnes choisies au hasard et on a observé une moyenne de sommeil de 8h22 avec un écart-type de 0h24.
   On a administré un somnifère B à 100 personnes choisies au hasard et on a observé une moyenne de sommeil de 7h15 avec un écart-type de 0h30.
   Ces deux somnifères ont-ils une efficacité signicativement différente ? de combien ?
   Réponse
   Soit X1 la variable aléatoire égale au nombre de minutes de sommeil lorsque l’on a pris le somnifère A et soit X2 la variable aléatoire égale au nombre de minutes de sommeil lorsque l’on a pris le somnifère B.
   On note X1 (resp X2) la variable aléatoire égale à la moyenne du nombre de minutes de sommeil pour des échantillons de taille 50 (resp 100) lorsque l’on a pris le somnifère A (resp le somnifère B).
   Au vu de l’échantillon d’effectif n1=50, X1 a comme moyenne m1 de 8h22 soit de 502 minutes et comme écart-type σ1.
   On a donc :
   m1=8*60+22=502 et,
   σ1 ≃ 24/√49.
   Au vu de l’échantillon d’effectif n2=100, X2 a comme moyenne m2 de 7h15 soit de 435 minutes et comme écart-type σ2.
   On a donc :
   m2=7*60+15=435 et,
   σ2≃ 30/√99.
   On en déduit que X1−X2 suit approximativement une loi normale N(µ , σ) avec comme écart-type :
   σ=√σ12+σ22=√242/49+302/99=4.56574321789≃ 4.566.
   On cherche un intervalle de confiance pour µ au seuil de 5% et au seuil de 1%. On sait que l’on a :
   Proba(|X1−X2| ≤ µ+1.96σ)=0.95
   Proba(|X1−X2| ≤ µ+2.58σ)=0.99
   X1−X2 a comme valeur m1−m2=67 donc,
   Proba(67−1.96*4.566 ≤ µ ≤ 67+1.96*4.566)=0.95 et,
   Proba(67−2.58*4.566 ≤ µ ≤ 67+2.58*4.566)=0.99
   On a donc :
   - Un intervalle de confiance pour µ au seuil de 5% est :
   l’intervalle [58;76] (car 58 ≃ 67−1.96*4.566 et 76 ≃ 67+1.96*4.566),
   - Un intervalle de confiance pour µ au seuil de 1% est :
   l’intervalle [55;79] (car 55 ≃ 67−2.58*4.566 et 79 ≃ 67+2.58*4.566).
   Avec Xcas on tape :
   normal_icdf(67,sqrt(24`^`2/49+30`^`2/99),0.975)
   On obtient :
   75.9486922697 ≃ 76
   On tape :
   normal_icdf(67,sqrt(24`^`2/49+30`^`2/99),0.025)
   On obtient :
   58.0513077303 ≃ 58
   On tape :
   normal_icdf(67,sqrt(24`^`2/49+30`^`2/99),0.995)
   On obtient :
   78.7605751731 ≃ 79
   On tape :
   normal_icdf(67,sqrt(24`^`2/49+30`^`2/99),0.005)
   On obtient :
   55.239424827 ≃ 55
   Donc :
   - µ est dans l’intervalle [58;76] avec un risque d’erreur de 5% et ,
   - µ est dans l’intervalle [55;79] avec un risque d’erreur de 1%.
   Le somnifère A allonge la durée du sommeil d’environ 67mn=1h07 par rapport au somnifère B, avec une incertidude de (76-58)/2=9mn (resp (79-55)/2=12mn) pour un seuil de 5% (resp 1%).
   Remarque : dans l’exercice précédent on a considéré deux groupes de patients indépendants. On aurait pu faire l’experience sur un même groupe (après un certain temps). On aurait eu affaire alors a des échantillons non indépendants mais appariés (pour un exemple voir l’exercice suivant).
7. Exercice : Échantillons appariés
   On a fait faire une double correction de 30 copies par deux examinateurs A et B afin de comparer leur notation. Les copies sont numerotées de 0 à 29.
   On a obtenu pour A :
   13,15,12,15,8,7,11,10,9,13,3,18,17,5,9,10,
   11,14,12,10,9,8,13,6,8,16,14,11,12,10
   On a obtenu pour B:
   12,13,12,15,7,5,12,10,8,13,4,17,16,4,9,11,10,
   13,13,9,10,7,14,8,7,15,13,10,13,10
   On tape :
   A:=[13,15,12,15,8,7,11,10,9,13,3,18,17,5,9,
   10,11,14,12,10,9,8,13,6,8,16,14,11,12,10]
   On tape :
   mean(A)
   On obtient :
   329/30≃ 10.9666666667 On tape :
   stddev(A)
   On obtient :
   sqrt(10769/900) ≃ 3.45912641509 On tape :
   B:=[12,17,11,16,7,7,10,10,8,13,1,18,16,4,8,
   10,10,14,11,10,8,8,12,6,7,16,13,11,12,9]
   On tape :
   mean(B)
   On obtient :
   21/2=10.5
   Les deux examinateurs n’ont pas obtenus la même moyenne et la différence des moyennes entre l’examinateur A et l’examinateur B est m=0.3.
   On tape : A-B
   On obtient :
   [1,-2,1,-1,1,0,1,0,1,0,2,0,1,1,1,0,1,0,1,0,1,0,1,
   0,1,0,1,0,0,1] ou encore on définit le caractère différence D avec effectifs :
   D:=([-2,-1,0,1,2],[1,1,12,15,1])
   On tape :
   D:=([-2,-1,0,1,2],[1,1,12,15,1])
   mean(D)
   On obtient :
   m=7/15=0.466666666667
   On tape :
   stddev(A-B)
   ou stddev(D)
   On obtient :
   s=sqrt(131/225) ≃ 0.763034876151
   On suppose que le caractère différence D est distribué selon une loi normale N(µ,σ(D)) (il faudrait le vérifié avec le test du χ2).
   On pose comme hypothèse H0 :µ=0 et comme hypothèse alternative H1: µ ≠ 0.
   On considère la variable T=√n−1(D-0/S), T a pour valeur :
   t=√n−1*m−0/s
   On tape :
   t:=sqrt(29)*7/15/sqrt(131/225) donc t≃=3.29352823645
   Au seuil de 5% et avec 29 degrées de liberté on lit dans la table de Student, la valeur critique h que t ne doit pas dépasser.
   On trouve h= 2.05.
   Ou bien on tape avec Xcas :
   h:=student_icdf(29,0.975)
   On obtient :
   h=2.04522964213 ≃ 2.05
   Puisque t=3.29352823645>h on conclut qu’au seuil de 5%, les 2 moyennes sont significativement différentes.
8. Exercice : Jet d’un dé et test du χ2
   On jette un dé 90 fois et on a obtenu :
   1 a été obtenu 11 fois,
   2 a été obtenu 16 fois,
   3 a été obtenu 17 fois,
   4 a été obtenu 22 fois,
   5 a été obtenu 14 fois,
   6 a été obtenu 10 fois.
   Peut-on admettre au vu de cette expérience que le dé est régulier ?
   Il y a 6 classes et le degré de liberté est égal à 5 puisque l’effectif de la dernière classe est imposé lorsque l’on a l’effectif des 5 premières. Pour chaque classe l’effectif théorique de l’échantillon est 90*1/6=15 (chaque face ayant une probabilité théorique égale à 1/6 de sortir si le dé est équilibré).
   On calcule l’écart quadradique réduit, c’est la valeur de :
   χ2=∑j=16 (Xj−90/6)2/90/6 pour l’échantillon considéré.
   On obtient ici :
   1/15((11−15)2+(16−15)2+(17−15)2+(22−15)2+(14−15)2+(10−15)2)=6.4
   Dans une table du χ2 on lit qu’au seuil 0.05 et pour un degré de liberté 5 la valeur limite de χ2 est égale à 11.1.
   Avec Xcas, on tape :
   chisquare_icdf(5,0.95)
   On obtient :
   11.0704976935 ≃ 11.1
   Or on a 6.4<11,1, donc au seuil 0.05, on ne rejette pas l’hypothèse : "le dé est régulier" car si on dit que le dé n’est pas régulier on se trompe dans plus de 5% des cas.
9. Exercice : Jet d’un dé et test du χ2
   On jette un dé 180 fois et on a obtenu :
   1 a été obtenu 22 fois,
   2 a été obtenu 32 fois,
   3 a été obtenu 34 fois,
   4 a été obtenu 44 fois,
   5 a été obtenu 28 fois,
   6 a été obtenu 20 fois.
   Peut-on admettre au vu de cette expérience que le dé est régulier ?
   Par rapport à l’exercice précédent on a doublé le nombre de lancers et on a aussi doublé les effectifs de chaque classe.
   On calcule l’écart quadradique réduit, c’est la valeur de :
   χ2=∑j=16 (Xj−180/6)2/180/6 pour l’échantillon considéré.
   On obtient ici :
   2/15((11−15)2+(16−15)2+(17−15)2+(22−15)2+(14−15)2+(10−15)2)=2*6.4=12.8
   Dans une table du χ2 on lit qu’au seuil 0.05 et pour un degré de liberté 5 la valeur limite de χ2 est 11.1.
   Avec Xcas, on tape :
   chisquare_icdf(5,0.95)
   On obtient :
   11.0704976935.
   Or on a 12.8>11,1, donc on rejette l’hypothèse : "le dé est régulier" au seuil de 5% ce qui veut dire "le dé n’est pas régulier" dans plus de 95% des cas.