Matrice de passage et matrice de Jordan : jordan

### 6.57.5 Matrice de passage et matrice de Jordan : jordan

jordan a comme argument une matrice A d’ordre n.
jordan renvoie

- en mode Xcas (il faut être en mode complexe c’est à dire avoir coché Complexe dans la configuration de CAS lorsqu’il y a des valeurs propres complexes), Mupad ou TI
  une séquencee composée de deux matrices : une matrice de changement de base P de colonnes les vecteurs propres et caractéristiques de A, suivie de la matrice de Jordan J associée à A dans la nouvelle base,
- en mode Maple
  la matrice de Jordan J associée à A dans la nouvelle base. On peut cependant obtenir la matrice de changement de base P, dans une variable passée en second argument, par exemple
  jordan([[1,0,0],[0,1,1],[1,1,-1]],’P’)

On a :
J=P−1AP.
Remarques Pour rat_jordan :

- La syntaxe Maple est aussi valable dans les autres modes, par exemple, en mode Xcas, on tape :
  rat_jordan([[4,1,1],[1,4,1],[1,1,4]],’P’)
  On obtient :
  [[1,-1,1/2],[1,0,-1],[1,1,1/2]]
  puis P renvoie :
  [[6,0,0],[0,3,0],[0,0,3]]
  , On tape :
  rat_jordan([[-1,1,0],[0,-1,1],[1,0,-1]])
  On obtient :
  [[1,1,-1],[1,0,-1],[1,-1,2]],[[0,0,0],[0,0,-3],[0,1,-3]]
  On tape (en mode complexe) :
  jordan([[-1,1,0],[0,-1,1],[1,0,-1]])
  On obtient :
  [[1,(-i)*sqrt(3)-1,(i)*sqrt(3)-1],[1,2,2], [1,(i)*sqrt(3)-1, (-i)*sqrt(3)-1]], [[0,0,0], [0,((i)*sqrt(3)-3)/2,0],[0,0,((-i)*sqrt(3)-3)/2]]
- Lorsque A est symétrique et a des valeurs propres d’ordre multiple, Xcas renvoie des vecteurs propres orthogonaux (pas forcément normés i.e. tran(P)*P) et une matrice diagonale ayant pour diagonale le carré de la norme des vecteurs propres. par exemple :
  rat_jordan([[4,1,1],[1,4,1],[1,1,4]])
  renvoie :
  [[1,-1,1/2],[1,0,-1],[1,1,1/2]],[[6,0,0],[0,3,0],[0,0,3]]

Pour avoir la matrice de Jordan de :

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ |  |
1 | 0 | 0
0 | 1 | 1
1 | 1 | −1
|  | ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

on tape en mode Xcas, Mupad et TI :

jordan([[1,0,0],[0,1,1],[1,1,-1]])

On obtient :

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ |  |
0 | −1 | 0
1 | 1 | 1
√ |
2
| −1
| 0 |
− | √ |
2
| −1
|  | ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ | , | ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ |  |
√ |
2
| 0 | 0
0 | 1 | 0
0 | 0 |
− | √ |
2
|  | ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

On tape en mode Maple :

jordan([[1,0,0],[0,1,1],[1,1,-1]])

On obtient :

[[1,0,0],[0,-(sqrt(2)),0],[0,0,sqrt(2)]]

On tape en mode Maple :

jordan([[1,0,0],[0,1,1],[1,1,-1]],’P’)

On obtient :

[[1,0,0],[0,-(sqrt(2)),0],[0,0,sqrt(2)]]

puis on tape :

P)

On obtient :

[[-1,0,0],[1,1,1],[0,-sqrt(2)-1,sqrt(2)-1]]

On tape en mode Xcas, Mupad et TI:

jordan([[4,1,-2],[1,2,-1],[2,1,0]])

On obtient :

[[[1,2,1],[0,1,0],[1,2,0]],[[2,1,0],[0,2,1],[0,0,2]]]

En mode complexe et en mode Xcas, Mupad et TI, on tape :

jordan([[2,0,0],[0,2,-1],[2,1,2]])

On obtient :

[[1,0,0],[-2,-1,-1],[0,i,-i]],[[2,0,0],[0,2+i,0],[0,0,2-i]]