# Podręcznik &kmplot;

&kmplot; obsługuje różne rodzaje funkcji, które mogą być zapisane w formie funkcji lub równania matematycznego:

- Wykresy kartezjańskie mogą być wpisane jako np. y = x^2, gdzie x musi być używana jako zmienna, lub jako np. f(a) = a^2 gdzie nazwa zmiennej jest dowolna.

- Wykresy parametryczne są podobne do kartezjańskich. Tutaj współrzędne x i y wprowadzane są jako funkcje matematyczne zmiennej t, np. x = sin(t), y = cos(t), lub jako funkcje f_x(s) = sin(s), f_y(s) = cos(s).

- Wykresy biegunowe również są podobne do kartezjańskich. Mogą być one wpisywane jako równania funkcji &thgr;, np.: r = &thgr;, lub jako funkcje, np.: f(x) = x.

- Dla wykresów bezwarunkowych, nazwa funkcji jest wpisywano oddzielnie od wyrażenia odnoszącego się do współrzędnych x i y. Jeżeli zmienne x i y są określone w nazwie funkcji (np. przy wprowadzeniu f(a,b) jako nazwy funkcji), wtedy te zmienne będą używane. W przeciwnym wypadku litery x i y będą użyte jako zmienne.

- Wykres różnicowy są określone równaniami różniczkowymi, gdzie najwyższa pochodna jest opisywana zakresem najniższej. Różniczkowanie jest oznaczane apostrofem ('). Równanie w formie funkcji będzie miało postać:f''(x) = f' − f. W formie wyrażenia, będzie takie:y'' = y' − y. W obu przypadkach wyrażenia (x) nie trzeba dodawać do pochodnej niższego rzędu (dlatego wprowadza się f'(x) = −f a nie f'(x) = −f(x)).

Wszystkie pola wprowadzania wyrażenia mają przycisk po prawej stronie, którego naciśnięcie otwiera okno zaawansowanego Edytora równań, które zawiera:

- Różnorodne symbole matematyczne które mogą być wykorzystane w formułach, lecz nie są dostępne na normalnych klawiaturach.

- Lista programowalnych stałych użytkownika oraz przycisk do ich zmiany.

- Lista predefiniowanych funkcji. Uwaga, jeżeli wcześniej zaznaczono jakiś tekst, będzie on użyty jako argument funkcji podczas wklejania. Na przykład, jeżeli w równaniu y = 1 + x zaznaczono fragment1 + x i następnie wybrano funkcję sinus, to równanie zmieni się na: y = sin(1+x).

Tutaj możesz zobaczyć zrzut ekranu okna powitalnego &kmplot; Zrzut ekranu

## Typy funkcji

### Funkcje kartezjańskie

Aby wprowadzić funkcję w postaci kanonicznej (tzn. funkcję w postaci y=f(x)) do &kmplot;, trzeba wpisać ją w następującej formie

    f(x)=wyrażenie

Gdzie:

- `f` jest nazwą funkcji; może być dowolnym ciągiem liter i cyfr.

- `x` jest współrzędną x używaną w wyrażeniu po znaku równości. W rzeczywistości jest to tylko zmienna domyślna, więc możesz użyć dowolnej nazwy, efekt będzie taki sam.

- `wyrażenie` to wyrażenia które ma być narysowane, podane za pomocą odpowiedniej składni dla &kmplot;. Zobacz math-syntax.

### Funkcje parametryczne

Funkcje parametryczne to takie w których współrzędne X i Y są zdefiniowane poprzez osobne funkcje innej zmiennej, często nazywanej t. Aby wprowadzić funkcję parametryczną w &kmplot;, postępuj zgodnie z procedurą dla wykresu kartezjańskiego dla funkcji x i y. Tak jak w funkcjach kartezjańskich można tutaj wprowadzić dowolną nazwę zmiennej jako parametru.

Przykładowo, żeby narysować koło, które ma równanie parametryczne w postaci równań: x = sin(t), y = cos(t). Należy w polach x i y równania wykresu parametrycznego wprowadzić: `f_x(t)=sin(t)` and `f_y(t)=cos(t)`.

Można ustawić kilka dodatkowych opcji dla wykresu w edytorze funkcji:

Min

Max

- Te ustawienia dotyczą zakresu parametru t dla którego funkcja jest rysowana.

### Funkcje o współrzędnych biegunowych

Współrzędne biegunowe wyznaczają położenie punktu poprzez jego odległość od środka układu (r), oraz kąt jaki linia od środka do punktu tworzy z osią z (zwykle nazywanym grecką literą theta &thgr;). Aby wprowadzić funkcje we współrzędnych biegunowych należy nacisnąć: Utwórz Wykres biegunowy... . W sekcji Definicja, należy wprowadzić równanie funkcji, zawierające wybraną nazwę dla zmiennej theta. Przykładowo, aby narysować spiralę Archimedesa należy wpisać:

    r(&thgr;) = &thgr;

. Należy zauważyć, że można użyć dowolnej nazwy dla zmiennej theta, tak więc r(t) = t oraz f(x) = x dadzą taki sam rezultat.

### Funkcje w postaci ogólnej

Wyrażenie bezwarunkowe ustala związek równości pomiędzy współrzędnymi x i y. Na przykład, po naciśnięciuprzycisku Utwórz i wybraniu Wykres bezwarunkowy, należy w polu funkcji wpisać co następuje:

    x^2 + y^2 = 25

### Funkcje różniczkowe

W programie &kmplot; można rysować wykresy dla równań różniczkowych. Są to równania w formie: y(n) = F(x,y',y'',...,y(n−1)), gdzie yk jestktą pochodną funkcji y(x). Program &kmplot; może ustalić stopień pochodnej jedynie po numerze apostrofów wpisanych po nazwie funkcji. Aby narysować sinusoidę, należy wpisać równanie różniczkowe postaci`y'' = − y` lub`f''(x) = −f`.

Jednakże samo równanie różniczkowe nie wystarcza do narysowania wykresu. Każda linia na wykresie jest tworzona za pomocą kombinacji równania różniczkowego i warunków początkowych. Edycja warunków początkowych jest możliwa w zakładce Warunki początkowe. Liczba kolumn dostępnych podczas ustalania warunków początkowych zależy od stopnia pochodnej przyjętej dla równania.

Można ustawić kilka dodatkowych opcji dla wykresu w edytorze funkcji:

Krok

- Wartość kroku ustalana w polu precyzja, jest wykorzystywana do numerycznego rozwiązywania równania różniczkowego (z wykorzystaniem metody Runge Kutta). W polu wprowadzana jest maksymalna wartość kroku, mniejsza wartość może być przyjęta przez program, jeżeli fragment wykresu równania różniczkowego będzie odpowiednio powiększony.

## Składanie funkcji

Funkcje mogą być składane w celu stworzenia nowych. Po prostu wprowadź funkcje po znaku równości w wyrażeniu tak jakby były zmiennymi. Na przykład, jeśli masz zdefiniowane funkcje f(x) i g(x), możesz narysować sumę f i g poprzez:

    sum(x) = f(x) + g(x)

## Zmiana wyglądu funkcji

Zmiana wyglądu wykresu funkcji odbywa się za pomocą paska bocznego Funkcje. Można zmieniać grubość linii wykresu, kolor i wiele innych charakterystyk po kliknięciu na przyciski Kolor lub Zaawansowane... w dolnej części sekcji Wygląd.

Podczas edytowania wykresu kartezjańskiego, edytor funkcji wyświetli trzy zakładki. W pierwszej z nich można wprowadzić równanie funkcji. Zakładka Pochodne pozwala włączyć rysowanie pierwszej i drugiej pochodnej. Zakładka Całka umożliwia rysowanie całki funkcji.

## Menu kontekstowe

Menu kontekstowe po naciśnięciu prawego przycisku na wykresie Menu kontekstowe po naciśnięciu prawego przycisku na wykresie

Po kliknięciu prawym przyciskiem myszy na wykresie zwykłej, lub parametrycznej funkcji ciągłej pojawi się menu kontekstowe, w którym znajdują się trzy pozycje:

Edytuj

- Wybiera do edycji funkcję w pasku bocznym Funkcje.

Ukryj

- Ukrywa wybrany wykres. Pozostałe wykresy tej funkcji będą nadal widoczne.

Usuń

- Usuwa funkcję. Wszystkie jej wykresy znikają.

Animuj wykresy...

- Wyświetla okno dialogowe Animacja parametrów.

Kalkulator

- Wyświetla okno dialogowe Kalkulator.

W zależności od rodzaju wykresu, dostępne mogę być również nawet cztery narzędzia:

Obszar wykresu...

- Należy w otwartym oknie dialogowym określić dolną i górną wartość zakresu x. Spowoduje to obliczenie całki dla wybranej funkcji oraz wypełnienie kolorem obszaru pomiędzy wykresem a osią x dla określonego zakresu.

Znajdź minimum...

- Znajduje wartość minimalną dla wykresu w określonym zakresie wartości x. Wybrany wykres będzie podświetlony w nowo otwartym oknie dialogowym. Należy tu wpisać dolną i górną granicę zakresu, w którym ma być poszukiwane minimum.

  Uwaga: Można włączyć pokazywanie na wykresie ekstremów (minimów i maksimów) funkcji, w sekcjiWygląd widocznej na paskuFunkcji trzeba kliknąć Zaawansowane....

Znajdź maksimum...

- Tak samo jak dla Szukaj wartości minimalnej opisanej powyżej, lecz wyszukuje wartość maksymalną zamiast minimalnej.