# Het gebruik van &kmplot;

&kmplot; kent diverse soorten functies, die in de vorm van een functie of als een vergelijking kunnen worden geschreven:

- Cartesische plots kunnen bijvoorbeeld als y = x^2 worden geschreven, waarin x moet worden gebruikt als de variabele, of als bijvoorbeeld f(a) = a^2, waarin de naam van de variabele willekeurig is.

- Bij parametrische plots gaat het net zo als bij cartesische. De x- en y-coördinaten kunnen worden ingevoerd als vergelijkingen van t, bijv. x = sin(t), y = cos(t), of als functies, bijv. f_x(s) = sin(s), f_y(s) = cos(s).

- Ook bij pooldiagrammen gaat het net zo als bij cartesische plots. Zij kunnen als een vergelijking worden ingevoerd in &thgr;, bijvoorbeeld r = &thgr;, of als eenfunctie, bijvoorbeeld f(x) = x.

- Bij impliciete plots wordt de naam van de functie apart ingevoerd van de expressie voor de relatie tussen de x- en y-coördinaten. Indien de x- en y- variabelen worden gegeven via de naam van de functie (door bijvoorbeeld f(a,b) in te voeren als de functienaam), dan worden de hierin genoemde variabelen (hier dus a en b) gebruikt. Anders worden voor de variabelen de letters x en y gebruikt.

- Bij expliciete plots van differentiaalvergelijkingen wordt de hoogste afgeleide uitgedrukt in termen van de lagere afgeleiden. Afgeleiden worden gekenmerkt met een of meer '-tekens. In de vorm van een functie is dit zoiets als f''(x) = f' − f. In de vorm van een vergelijking ziet het eruit als y'' = y' − y. Merk op dat in beide gevallen het (x)-gedeelte niet wordt toegevoegd aan de termen met de lagere afgeleiden (dus is de invoer als f'(x) = −f en niet als f'(x) = −f(x)).

U kunt alle invoervakken voor vergelijkingen verkrijgen met een knop rechts. Hierop klikken geeft de geavanceerde dialoog voor de Vergelijkingbewerker waarin u vindt:

- Een aantal wiskundige symbolen die u kunt gebruiken in vergelijkingen, maar die u niet zult aantreffen op normale toetsenborden.

- De lijst van constanten voor de gebruiker, en een knop om ze te kunnen bewerken.

- De lijst van voorgedefiniëerde functies. Merk op dat al u reeds geselecteerde tekst heeft, deze zal worden gebruikt als het functieargument als er een functie wordt ingevoegd. Bijvoorbeeld, indien 1 + x is geselecteerd in de vergelijking y = 1 + x, en daarna de sinusfunctie wordt gekozen,dan wordt de vergelijking y = sin(1+x).

U ziet hier een afbeelding van het welkomstscherm va &kmplot; Schermafdruk

## Functietypes

### Cartesische functies

U kunt als volgt een expliciete functie (dit is een functie in de vorm y=f(x)) in &kmplot; invoeren,:

    f(x) = expressie

waarin:

- `f` de naam is van de functie, die elke rij van tekens en cijfers kan zijn.

- `x` is de x-coördinaat, te gebruiken in de expressie rechts van het =-teken. Het is in een dummyvariabele, u kunt dus elke naam voor de variabele gebruiken die u wilt.

- `expressie` de expressie is die moet worden geplot, gegeven in de juiste syntax voor &kmplot;. Zie math-syntax.

### Parametrische functies

In parametrische functies worden de x- en de y-coördinaten als afzonderlijke functies gedefinieerd van een andere variabele (parameter), vaak t (van: tijd) genoemd. Om in &kmplot; een parametrische functie in te voeren, volgt u dezelfde werkwijze vooor de beide x- en y-functies als voor een cartesische functie. Net als bij cartesische functies kunt u voor de parameter elke naam gebruiken die u wenst.

Als voorbeeld stellen we dat u een cirkel wilt tekenen, met de parametrische vergelijkingen x=sin(t) en y=cos(t). Na het aanmaken van een parametrische plot voert u deze vergelijkingen in in de juiste x- en y- invoervakken; dus als `f_x(t)=sin(t)` en `f_y(t)=cos(t)`.

U kunt in deze dialoog nog enkele andere opties voor de plot instellen:

Min

Max

- Met deze opties bepaalt u het interval voor de parameter t waarop de functie wordt geplot.

### Functies in poolcoördinaten

In poolcoördinaten wordt een punt gegeven door zijn afstand tot de oorsprong (meestal r genoemd), en de hoek die de lijn, vanuit de oorsprong door het punt getrokken, maakt met de (positieve) x-as (gewoonlijk met de Griekse letter theta (&thgr;)aangeduid). Om functies in poolcoördinaten in te voeren drukt u op de knop Aanmaken, en kiest u Pooldiagram in de lijst. In het het hiervoor bestemde vak voert u de functiedefinitie in, met de door u gewenste naam voor de theta-variabele. ⪚, om de spiraal van Archimedes, r = &thgr;, te tekenen, voert u in

    r(&thgr;) = &thgr;

. Merk op dat u voor de theta-variabele iedere willekeurige naam kunt gebruiken, zodat u met r(t)=t, of f(x) = x precies hetzelfde resultaat krijgt.

### Impliciete Functions

In een impliciete relatie wordt een vergelijking gegeven waarin x en y op een gelijkwaardige manier voorkomen. Om een cirkel te maken bijvoorbeeld, maakt u een nieuwe impliciete plot aan met de knop Aanmaken, en kiest u in de lijst Impliciete Plot. Daarna voert u de volgende vergelijking in in het invoervak hiervoor (onder dat voor de functienaam):

    x^2 + y^2 = 25

### Differentiële functies

In &kmplot; kunnen expliciete differentiële functies worden geplot. Dit zijn functies met de vorm y(n) = F(x,y',y'',...,y(n−1)), waarin yk de k-de afgeleide is van y(x). &kmplot; kan alleen de orde van de afgeleide functie bepalen aan de hand van het aantal '-tekens achter de naam van de functie. Voor het tekenen van een sinuskromme, bijvoorbeeld, kunt u de differentiaalvergelijking y'' = − y gebruiken (Uitleg: y=sin(x) -> y'=cos(x) -> y''=−sin(x)=−y).

Maar een differentiaalvergelijking is op zichzelf niet voldoende voor het tekenen van een plot. Elke kromme in de plot wordt gegenereerd door een combinatie van de differentiaalvergelijking en de randvoorwaarden. U kunt de randvoorwaarden bewerken in het tabblad Randvoorwaarden wanneer u een differentiaalvergelijking selecteert. Het aantal kolommen dat beschikbaar is voor het bewerken van de randvoorwaarden is afhankelijk van de orde van de differentiaalvergelijking.

U kunt in deze dialoog nog enkele andere opties voor de plot instellen:

Stap

- De stapwaarde in het vak nauwkeurigheid wordt gebruikt bij het numeriek oplossen van de differentiaalvergelijking (met de Runge Kutta methode). Het is de waarde van de grootste stap die wordt gebruikt; een kleinere stap kan worden gebruikt indien er voldoende op een gedeelte van de plot van de differentiaalvergelijking wordt ingezoomd.

## Het combineren van functies

Functies kunnen worden gecombineerd tot nieuwe functies. Voer gewoon de functies na het =-teken in in een expressie alsof de functies gewone variabelen zijn. Bijvoorbeeld, als u de functies f(x) en g(x) heeft gedefinieerd, kunt u de som van f en g plotten met:

    sum(x) = f(x) + g(x)

## Het veranderen van het uiterlijk van de grafieken van functies

Om het uiterlijk van een grafiek van een functie in het hoofdplotscherm te wijzigen, selecteert u de functie in de zijbalk Functies. U kunt de lijndikte veranderen, de kleur en vele andere eigenschappen, door op de knop Kleur te klikken, of op Gevorderd... onder in de sectie Uiterlijk.

Als u een cartesische functie bewerkt, heeft de functiebewerker drie tabbladen. In het eerste kunt u de vergelijking opgeven van de functie. In het tabblad Afgeleiden kunt u opgeven dat de eerste en tweede afgeleide functies worden getekend. In het tabblad Integraal kunt u de integraal laten tekenen van de functie.

## Contextmenu

Contextmenu na rechtsklikken op een grafiek Contextmenu na rechtsklikken op een grafiek

Als u rechtsklikt op de grafiek van een functie of van een parametrische plot van een punt (vert.: ?) verschijnt er een contextmenu. Hierin zijn drie onderwerpen beschikbaar:

Bewerken

- Selecteert de te bewerken functie in de zijbalk Functies.

Verbergen

- Verbergt de geselecteerde grafiek. De andere grafieken van de functie blijven gewoon zichtbaar.

Verwijderen

- Verwijdert de functie. Alle grafieken die erbij horen worden gewist.

Plot animeren...

- Toont de dialoog voor de Parameter animatie.

Rekenmachine

- Opent de dialoog voor de Rekenmachine.

Afhankelijk van het type plot zijn er ook tot vier hulpmiddelen beschikbaar:

Plotgebied...

- Selecteer in de nieuwe dialoog de uiterste x-waarden voor de grafiek. Berekent de integraal en tekent de oppervlakte tussen de grafiek en de x-as tussen beide x-waarden, in de kleur van de grafiek.

Minimum bepalen...

- Bepaal het minimum van de functie binnen een bepaald interval. De geselecteerde grafiek wordt gemarkeerd in de dialoog die verschijnt. Vul de onder- en bovengrens in van het interval waarbinnen u het minimum wilt vinden.

  Let op: u kunt ook de uiterste waarden visueel in de plot laten tonen met behulp van de dialoog Plotuiterlijk, dat u verkrijgt via de knop Gevorderd... in de zijbalk Functies.

Maximum bepalen...

- Dit is hetzelfde als Minimum bepalen... hier boven, maar nu wordt het maximum in plaats van het minimum bepaald.