Le théorème de 1968

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# Chapitre 3 Le théorème de 1968

## 3.1 Le théorème

Soit un triangle quelconque ABC. On construit sur les côtés du triangle ABC les carrés directs CBDE, ACGF et BAKH, puis les parallélogrammes DBHJ et GCEL.

Remarque : si ABC est direct les carrés sont à l’extérieur du triangle.
On a la propriété suivante : Le triangle AJL est isocèle rectangle direct.

## 3.2 La figure

Pour faire la figure, on tape les instructions suivantes qui se trouvent dans le fichier `th1968.xws` :

    A:=point(-4,-1);
    B:=point(-2,-1);
    C:=point(-3.5,0);
    triangle(A,B,C);
    carre(B,A,K,H);
    carre(C,B,D,E);
    carre(A,C,G,F);
    J:=H+D-B;
    polygone(D,B,H,J,affichage=bleu);
    L:=E+G-C:;legend(L,"L",quadrant2;
    polygone(C,G,L,E,affichage=bleu);
    triangle(A,J,L,affichage=rouge);

## 3.3 Une démonstration géométrique

On suppose que le triangle ABC est direct car la figure est plus lisible.
On fait des constructions supplémentaires et on tape :

    B1:=translation(B-H,B);
    B2:=translation(C-B,B1);
    segment(B1,B);
    segment(B1,L);
    segment(B1,D);
    segment(C,L);

On remarque que `B2` est confondu avec `L` puisque les triangles `B1BD` et `LCE` sont égaux au triangle `ABC` en effet :
- le triangle `B1BD` est le transformé du triangle `ABC` par rotation de centre `B` et d’angle `-pi/2`, et
- le triangle `LCE` est le transformé du triangle `ABC` par la composition de la rotation de centre `C` et d’angle `-pi/2` et de la translation de vecteur `E-C`.
La rotation de centre `A` et d’angle `pi/2` transforme `H` en `B1` et `HJ` en `B1B2`.
Donc la rotation de centre `A` et d’angle `pi/2` transforme `J` en `B2`.
Donc, puisque `B2` est confondu avec `L`, la rotation de centre `A` et d’angle `pi/2` transforme `J` en `L`
Donc le triangle `AJL` est isocèle rectangle direct.

## 3.4 Une démonstration avec les complexes

Soit `a=affixe(A), b=affixe(B), c=affixe(C)`
On a :
`j=affixe(J)=b+i*(a-b)-i*(c-b)=b+i(a-c)`
`l=affixe(L)=c+i*(b-c)-i*(a-c)=c+i(b-a)`
On a donc :

l−a=c−a+i*(b−a)=i2*(a−c)+i*(b−a)=i*(b−a+i(a−c))=i*(j−a)

L’égalité `l-a=i*(j-a)` prouve que `L` se déduit de `J` par la rotation de centre `A` et d’angle `pi/2`.

## 3.5 La démonstration du théorème avec `Xcas`

On suppose que le point `A` est à l’origine du repère et que le point `B` est le point d’affixe 2. Le point `C` a comme affixe a+ib, avec a et b quelconques.
Pour faire la figure on suppose que a=−1 et que b=−1.
On tape les instructions suivantes qui se trouvent dans le fichier `th1968d.xws` :

    assume(a=-3.5);
    assume(b=0);
    A:=point(-4,-1);
    B:=point(-2,-1);
    C:=point(a,b);
    T1:=couleur(carre(B,A,K,H),vert);
    T2:=couleur(carre(C,B,D,E),vert);
    T3:=couleur(carre(A,C,G,F),vert);
    J:=H+(D-B);
    P1:=couleur(polygone(D,B,H,J),rouge);
    L:=E+(G-C);
    P2:=couleur(polygone(L,E,C,G),rouge);
    p:=normal((affixe(J)-affixe(A))/(affixe(L)-affixe(A)));
    normal(longueur2(A,L)-longueur2(A,J));
    normal(angle(A,J,L));

On obtient `-i`, `0` et `pi/2` comme résultats des 3 dernières commandes :

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