Exercices sur trigonométrie et complexes

# Chapitre 11 Exercices sur trigonométrie et complexes

## 11.1 Les polynômes de Tchebychev

### 11.1.1 L’énoncé

Les polynômes de Tchebychev Tn sont tels que cos(nx)=Tn(cos(x)).
On a ainsi :
T0(x)=1
T1(x)=x
T2(x)=2x2−1

1. Montrer que pour n≥ 1 on a :
   Tn+1(x)=2xTn(x)−Tn−1(x).
2. Écrire une fonction de n qui renvoie le polynôme Tn, en utilisant la relation Tn+1(x)=2xTn(x)−Tn−1(x).
3. Écrire une fonction de n qui renvoie le polynôme Tn, en utilisant les nombres complexes et la formule de Moivre.

### 11.1.2 La solution avec Xcas

Dans Xcas, la fonction tchebyshev1 qui renvoie le nième polynôme de Tchebyshev de 1ière espèce existe. Cela va pouvoir permettre la vérification de vos programmes

1. La relation Tn+1(x)=2xTn(x)−Tn−1(x) est vraie pour n=1 car T2(x)=2xT1(x)−T0(x)=2x*x−2 On a : cos((n+1)x)=cos(x)*cos(nx)−sin(x)*sin(nx) et
   cos((n−1)x)=cos(x)*cos(nx)+sin(x)*sin(nx)
   donc cos((n+1)x)+cos((n−1)x)=2cos(x)*cos(nx)
   ou encore cos((n+1)x)=2cos(x)*cos(nx)−cos((n−1)x) c’est à dire :
   Tn+1(x)=2xTn(x)−Tn−1(x)
2. On écrit une fonction Tcheb(n) qui renvoie le polynôme Tn, en utilisant la relation Tn+1(x)=2xTn(x)−Tn−1(x). :

       Tcheb(n):={
       local j,T0,T1,Tj;
       T0:=1;
       T1:=x;
       pour j de 2 jusque n faire
       Tj:=2*x*T1-T0;
       T0:=T1;
       T1:=Tj;
       fpour;
       return T1;
       }:;

   On tape : Tcheb(7)
   On obtient :64*x`^`7-112*x`^`5+56*x`^`3-7*x
3. On écrit une fonction Tchebich(n) qui renvoie le polynôme Tn, en utilisant la formule de Moivre (cos(nx)=re((cos(x)+isin(x))n)) et l’égalité sin(x)2=1−cos(x)2 :

       Tchebich(n):={
       local f;
       f(x,y):=normal(re((x+i*y)^n));
       return f(x,sqrt(1-x^2));
       }:;

   On tape : Tchebich(7)
   On obtient :64*x`^`7-112*x`^`5+56*x`^`3-7*x
   Remarque
   On peut vérifier car cette fontion existe dans Xcas, on tape On tape : tchebyshev1(7)
   On obtient :64*x`^`7-112*x`^`5+56*x`^`3-7*x