Pour s’amuser avec les séries

# Chapitre 10 Pour s’amuser avec les séries

Soit n un entier positif.
Soit cn le nombre de triplets (X,Y,Z) de ℕ qui vérifient :

X+2Y+4Z=n

On veut calculer cn.
Déterminer c100 et c1000.
On propose pour cela la téchnique suivante :
- Effectuer un développement en série au voisinage de l’origine de :
f1(x)=1/1−x,
f2(x)=1/1−x2,
f3(x)=1/1−x4,
f(x)=1/(1−x)(1−x2)(1−x4),
- Montrer, en effectuant le produit des 3 développements en série de f1,f2,f3, que le coefficient de xn du développement de f est cn.
- Déterminer le développement de f par une autre méthode.
- En déduire cn.
On tape :
`series(``1/(1-x)(1-x``2``)(1-x``4``)``,0,20)`
On obtient :
`1+x+2*x``2``+2*x``3``+4*x``4``+4*x``5``+6*x``6``+6*x``7``+9*x``8``+9*x``9``+12*x``10``+`
`12*x``11``+16*x``12``+16*x``13``+20*x``14``+20*x``15``+25*x``16``+25*x``17``+30*x``18``+`
`30*x``19``+36*x``20``+x``21``*order_size(x)`
On remarque que les coefficients sont :
1,1,2,2,4,4,6,6,9,9,12,12,16,16,20,20,25,25,30,30,36...
On obtient les carrés des entiers puis, le produit de 2 entiers consécutifs :
1,4,9,16,25,36 et 1*2,2*3,3*4,4*5,5*6...
On suppose donc que :
f(x)=∑n=0∞cnxn avec :
c4*k=c4*k+1=(k+1)2 et
c4*k+2=c4*k+3=(k+1)*(k+2)
ce qui donne bien c0=c1=1, c2=c3=2, c4=c5=4, c6=c7=6...
On a donc :
c100=c4*25=262=676
c1000=c4*250=2512=63001
On peut bien sûr le vérifier en demandant à `Xcas` :
`series(``1/(1-x)(1-x``2``)(1-x``4``)``,0,100)` et
`series(``1/(1-x)(1-x``2``)(1-x``4``)``,0,1000)`
Mais comment montrer que l’on a bien :
f(x)=∑n=0∞cnxn avec :
c4*k=c4*k+1=(k+1)2 et
c4*k+2=c4*k+3=(k+1)*(k+2)
On peut penser à décomposer la fraction rationnelle f :
On tape :
`partfrac(``1/(1-x)(1-x``2``)(1-x``4``)``)`
On obtient :
`x+1/8*(x``2``+1)``+``5/32*(x+1)``+``1/16*(x+1)``2``-``9/32*(x-1)``+``1/4*(x-1)``2``-``1/8*(x-1)``3`
ce qui n’est pas simple....

Pour le montrer on peut commencer par montrer que :
`series(``1/(1-x``2``)(1-x``4``)``,0,20)` vaut :
`1+x``2``+2*x``4``+2*x``6``+3*x``8``+3*x``10``+4*x``12``+4*x``14``+5*x``16``+`
`5*x``18``+6*x``20``+x``21``*order_size(x)` c’est à dire :
`series(``1/(1-x``2``)(1-x``4``)``,0,20)`=∑n=0∞cnxn avec :
c4*k=c4*k+2=(k+1) et
c4*k+1=c4*k+3=0
puis multiplier par cette série par ∑n=0∞xn
On peut aussi regarder le développement en série de f/(1+x) car :
f/1+x=1/(1−x2)2(1−x4).
On a ;
1/(1−x2)2=∑n=0∞(n+1)x2n (1/(1−u)2=(1/(1−u))′ puis u=x2)
1/(1−x4)=∑n=0∞x4n
on multiplie ces deux séries et on obtient :
coefficient de x4n : 1+3+5+....+(2n+1)=(n+1)2
coefficient de x4n+2 : 2+4+6+....+(2n+2)=(n+1)(n+2)
donc
f=(1+x)∑n=0∞(n+1)2x4n+(n+1)(n+2)x4n+2
ce qui donne bien la formule annoncée.
Vous pouvez maintenant vous amuser avec le problème similaire :
Soit n un entier positif. Soit cn le nombre de triplets de ℕ qui vérifient :

X+2Y+5Z=n

Déterminer c100 et c1000 en calculant cn.